РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Натуральное число $n больше 1$ будем называть хорошим, если его последняя цифра больше 1 и оно делится на свою последнюю цифру. Частное от деления хорошего числа n на последнюю цифру обозначим n*.

а)  Может ли быть n*  =  18?

б)  Пусть m  — натуральное число. При каких значениях последней цифры числа m существует такое хорошее число n, что n*  =  m?

в)  Натуральное число $n больше 1$ будем называть отличным, если все его натуральные делители, кроме 1, хорошие числа. Найдите все отличные числа.

Решение. а)  По условию $10k плюс a = 18a,$ $10k = 17a,$ значит, a кратно 10. Такая цифра только 0, но делить на 0 нельзя.

б)  По условию $10k плюс a = n в степени * умножить на a,$ то есть $10k = левая круглая скобка n в степени * минус 1 правая круглая скобка a.$ Если $n в степени * минус 1$ заканчивается на 1, 3, 7 или 9, то из этого равенства следует, что a кратно 10, что невозможно. Следовательно, если n* заканчивается на 2, 4, 8 или 0, то описанная ситуация невозможна. Для других последних цифр ситуация возможна. Если $m=n в степени *$ заканчивается на 6, то можно положить a  =  2 и $k = дробь: числитель: m минус 1, знаменатель: 5 конец дроби .$ Если же m нечетно, то можно положить a  =  5 и $k = дробь: числитель: m минус 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

в)  Выясним, как устроены хорошие числа с разной последней цифрой.

При a  =  0 или a  =  1 хороших чисел нет.

При a  =  2 или a  =  5 любое число хорошее.

При a  =  3 или a  =  6 получаем, что 10k кратно 3 или 6, то есть k кратно 3.

При a  =  4 получаем, что 10k кратно 4, то есть k кратно 2.

При a  =  7 получаем, что 10k кратно 7, то есть k кратно 7.

При a  =  8 получаем, что 10k кратно 8, то есть k кратно 4.

При a  =  9 получаем, что 10k кратно 9, то есть k кратно 9.

Рассмотрим теперь только простые делители n. Ясно, что они не могут делиться на свою последнюю цифру, если они не однозначны или не кончаются на 1. Однако такие делители по условию не считаются хорошими. Значит, разложение на множители нашего числа имеет вид $2 в степени x умножить на 3 в степени y умножить на 5 в степени z умножить на 7 в степени t ,$ причем взять одновременно 2 и 5 или 3 и 7 нельзя, поскольку тогда у числа будут делители 10 или 21, а они не являются хорошими. Аналогично нельзя взять 2 и 7, число 14 не будет хорошим.

Разберем теперь оставшиеся варианты.

1.  Число вида $2 в степени x умножить на 3 в степени t .$ Очевидно, $t меньше или равно 2,$ поскольку 27 не будет хорошим делителем и $x меньше или равно 4,$ поскольку 16 не будет хорошим делителем. Перебирая числа 2, 4, 8, 6, 12, 24, 18, 36, 72, обнаруживаем, что подходят первые 6, а остальные кратны 18  — они не подойдут.

2.  Число вида $3 в степени x умножить на 5 в степени y .$ Очевидно, $x меньше или равно 2,$ как и в предыдущем случае, и все такие числа подходят  — их делителями будут 3, 9 и числа с последней цифрой 5.

3.  Число вида $7 в степени x умножить на 5 в степени y .$ Аналогично, $x меньше или равно 1$ и все такие числа подходят.

Ответ: а)  нет; б)  1, 3, 5, 6, 7, 9; в)  2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 24, $5 в степени x ,$ $5 в степени x умножить на 3,$ $5 в степени x умножить на 7,$ $5 в степени x умножить на 9$ при натуральных x.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	675580	а)  нет; б)  1, 3, 5, 6, 7, 9; в)  2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 24, $5 в степени x ,$ $5 в степени x умножить на 3,$ $5 в степени x умножить на 7,$ $5 в степени x умножить на 9$ при натуральных x.

Ключ