PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
не имеет решений.
Решение. Заметим, что 
при 
принимает значения из промежутка 
ровно по одному разу. Пусть 
тогда второе уравнение примет вид:
Заметим, что уравнение 
разрешимо при 
При 
корнем является 
для прочих b уравнение сводится к квадратному 
с дискриминантом 
неотрицательным при 
Пусть 
преобразуем первое неравенство системы:
Деление на 
не приводит к потере корней, тогда можно записать систему в виде
Исследуем, при каких a удается подобрать t так, чтобы 
—
сводится к
При 
положительных корней нет, все слагаемые положительны при а при отрицательных a положительный корень есть, при 
выражение 
отрицательно, а при больших t — положительно, поэтому на луче есть корень. При 
уравнение 
положительных корней не имеет. Значит, 
В таком случае решением первого неравенства будет 
Заметим, что при 
получим 
поэтому отрицательные z можно не рассматривать. Кроме того, 
следовательно:
— при подходящих z нет.
— при 
требуется 
— при 
требуется 
Исследуем теперь, какие значения может принимать выражение 
Его производная 
отрицательна при 
и положительна при 
Значит, выражение убывает при 
и возрастает при 
а наименьшее его значение достигается при 
и равно 
Если это значение попадает в допустимый для z интервал, то можно взять 
соответствующее z, и получить решение системы. Если не попадает, то никакие другие значения выражения 
не дадут допустимых z, и потому решений у системы не будет. Рассмотрим последний случай.
При 
нужно чтобы 
Решим это неравенство:
поэтому все такие a подходят.
При нужно чтобы 
Заметим, что правая часть возрастает при росте a, поэтому достаточно найти то a, при котором будет равенство и взять a, большие его:
Отсюда
Значит, 
а второй корень больше 8 и потому посторонний — он появился при возведении в квадрат.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |