Ре­ше­ние. а)  Да, на­при­мер, числа 7, 8, 9, 10, 13.

б)  Нет. Пусть   — наи­мень­шее,   — наи­боль­шее из за­пи­сан­ных чисел. По­сколь­ку все 10 чисел раз­лич­ны, По­сколь­ку числа от­ли­ча­ют­ся не более чем в 3 раза, от­ку­да Сле­до­ва­тель­но, наи­мень­шее из за­пи­сан­ных чисел не мень­ше 5. Но тогда сумма за­пи­сан­ных чисел не мень­ше суммы чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии 5 + 6 + ... + 14  =  10 · (5 + 14)/2  =  95. Про­ти­во­ре­чие.

в)  За­ме­тим пред­ва­ри­тель­но, что 8000  =  2⁶ · 5³. От­сю­да сле­ду­ет, что за­пи­сан­ные числа могут быть толь­ко сте­пе­ня­ми двой­ки или пя­тер­ки или их про­из­ве­де­ни­я­ми.

На доске могут быть за­пи­са­ны два числа: 2⁴ · 5  =  80 и 2² · 5²  =  100. Могут быть за­пи­са­ны три числа: 2⁴  =  16, 2² · 5  =  20 и 5²  =  25. На доске не может быть за­пи­са­но боль­шее ко­ли­че­ство чисел.

Дей­стви­тель­но, если на доске есть число m, крат­ное 25, то каж­дое из остав­ших­ся чисел не мень­шие 8. Тогда про­из­ве­де­ние m и трёх таких чисел боль­ше 8000. Сле­до­ва­тель­но, в этом слу­чае боль­ше трёх чисел на доске быть не может. Если на доске нет чисел, крат­ных 25, то ровно три из них крат­ны пяти. Они имеют вид 5a, 5b и 5c, причём от­ли­ча­ют­ся друг от друга в 2 и в 4 раза, что не­воз­мож­но.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  2 или 3.