PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно одно решение на отрезке 
Решение. Пусть 
где 
и 
Возведем оба уравнения системы в квадрат и сложим полученные уравнения — получим следствие системы:
Тогда
Рассмотрим четыре случая.
1. Если 
то 
и на отрезке 
получаем:
Найдём соответствующие значения параметра a:
2. Если 
то и на отрезке получаем:
Найдём соответствующие значения параметра a:
3. Если 
то 
и на на отрезке получаем:
Решим первое уравнение системы на отрезке и проверим найденные корни подстановкой:
В силу справедливости равенств
оба найденных числа обращают второе уравнение системы в верное равенство и являются решениями системы. Значит, при 
система имеет два решения на заданном отрезке.
4. Если 
то 
и на на отрезке получаем:
Решения системы найденные в первом, втором и четвёртом случаях не совпадают. Таким образом, исходная система имеет ровно одно решение на отрезке 
при 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |