PDF-версии: 
Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Биссектрисы углов BAD и BCD пересекаются в точке O. Через точку O проведена прямая, параллельная основаниям трапеции и пересекающая ее боковые стороны.
а) Докажите, что длина отрезка этой прямой с концами на боковых сторонах трапеции, равна ее боковой стороне.
6) Найдите отношение длин оснований трапеции, если 
и данная прямая делит AB в отношении 
Решение.
а) Пусть прямая, проходящая через точку O параллельно BC пересекает прямую AB в точке M и прямую CD в точке F. Углы MOA и OAD равны как накрест лежащие, следовательно, угол MAO равен углу MOA, тогда AM = MO. Аналогично углы BCO и COF равны, следовательно, OF = CF. Заметим, что AMFD — равнобокая трапеция, следовательно, AM = FD, тогда
б) Пусть AM = x, BM = 2x, угол AMO равен α, тогда 
Для треугольников AMO и CFO по теореме косинусов:
Учитывая, что по условию AO = OC, получаем:
Отсюда 
Имеем:
отсюда
Выразим длину AD:
Найдем отношение BC к AD:
Ответ: 1 : 7.
Приведём решение Светланы Шлычковой (Москва).
а) Пусть биссектриса угла A делит его на равные части величины α, а биссектриса угла C делит его на равные части величины β. Заметим, что угол D равен 2β. Тогда сумма внутренних односторонних углов BCD и ADC равна π, то есть 
Значит, 
Пусть также прямая, проведенная через точку O параллельно основаниям, пересекает боковую сторону AB в точке M, а боковую сторону CD — в точке M1. Тогда углы MOA и OAD равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых, а значит, угол MOA равен α. Тогда треугольник AMO равнобедренный, тогда AM = OM. Аналогично треугольник CM1O равнобедренный и CM1 = OM1.
Теперь заметим, что трапеция ABCD равнобедренная по условию, поэтому углы при основании этой трапеции равны. Тогда трапеция AMM1D также равнобедренная и трапеция MBCM1 равнобедренная. Значит, CM1 = BM = OM1. Таким образом, равенство AB = AM + MB эквивалентно равенству AB = MO + OM1, что и требовалось доказать.
б) По доказанному в пункте а) MM1 = AB. Проведем через точку M1 прямую параллельно AB. Пусть такая прямая пересекает продолжение отрезка BC в точке N, а отрезок AD — в точке K. Тогда ABNK — ромб, тогда угол 
Пусть 
тогда
а потому AK = 3x.
Теперь пусть KD = y. Поскольку треугольники KM1D и NM1C подобны по двум углам (углы CM1N и DM 1K равны как вертикальные, а углы CNM1 и DKM1 равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых) с коэффициентом подобия
откуда заключаем, что CN = 2y. Проведем высоту и медиану M1Q в равнобедренном треугольнике CM1N. Тогда NQ = CQ = y.
Пусть AO = 2z = OC. Проведем высоты (они же медианы) ML и M1P в равнобедренных треугольниках AMO и OM1C соответственно. Тогда
Вспомним, что Тогда треугольники MLO и OPM1 подобны по двум углам с коэффициентом подобия
Таким образом, PM1 = 2z. По теореме Пифагора из треугольника OPM1: 
Значит, 
Тогда из треугольника MOL:
Следовательно,
поэтому 
откуда 
Тогда
Значит,
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |