РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 17 № 675110 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 492

Классификатор планиметрии: Многоугольники и их свойства, Окружность, описанная вокруг треугольника

Планиметрическая задача. Окружности и четырехугольники, разные задачи

В прямоугольной трапеции ABCD к большей боковой стороне ВС построен перпендикуляр, пересекающий ВС и AD в точках F и N соответственно. Окружность, описанная около треугольника ABN проходит через T  — точку пересечения DF и NC, а окружность, описанная около треугольника DNC проходит через Р  — точку пересечения АТ и BN. Угол NAT равен 18°.

а)  Докажите, что PF параллельна AB.

б)  Найдите PT, если $AB = корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента плюс 1.$

Решение. а)  Из условия $\angle NAB плюс \angle NTB = 180 градусов,$ то есть $\angle NTB = 90 градусов.$ Аналогично $\angle NPC = 90 градусов.$ Тогда отрезки BT, CP и NF  — высоты треугольника NBC, которые пересекаются в точке H. По свойству вписанных углов

$\angle NAT = \angle NBT = \angle NFT = \angle NPD = \angle NCD = 18 градусов.$

Значит, $\angle PFC = 108 градусов,$ а поскольку четырехугольник APFC вписанный, то

$\angle PNC = 72 градусов = \angle DNC,$

$\angle ANB = 180 градусов минус 2 умножить на 72 градусов = 36 градусов,$

$\angle ABN = 54 градусов = \angle NTA = \angle NBC.$

Последнее равенство следует из того, что четырехугольника PBCT вписанный. Следовательно,

$\angle ABF = 54 градусов плюс 54 градусов = 108 градусов = \angle PFC,$

откуда следует, что прямая PF параллельна стороне AB.

б)  Четырехугольник PBCT вписанный, а потому $\angle APB = \angle NPT = \angle NCB$ и

$\angle APB = 180 градусов минус 54 градусов минус 72 градусов = 54 градусов = \angle PBF,$

то есть четырехугольник ABFP  — параллелограмм. Тогда $PF = AB = корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента плюс 1.$ Заметим, что треугольники APF и ATF равны по стороне AF и двум углам. Значит, PF  =  TF, и, следовательно,

$PT = 2 PF умножить на синус 18 градусов = 2 умножить на левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента плюс 1 правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента минус 1, знаменатель: 4 конец дроби = 2.$

Ответ: б)  2.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: б)  2.

675110

б)  2.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 492

Классификатор планиметрии: Многоугольники и их свойства, Окружность, описанная вокруг треугольника

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	675110	б)  2.