РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 673602 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 487

Классификатор алгебры: Неравенства первой и второй степени относительно логарифмической функции, Неравенства с модулями

Неравенства. Логарифмические неравенства первой и второй степени

Решите неравенство: $логарифм по основанию 2 в квадрате |x| минус логарифм по основанию 2 дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби больше или равно левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию 2 4 плюс логарифм по основанию 4 |x| правая круглая скобка в квадрате .$

Решение. Преобразуем левую часть неравенства:

$логарифм по основанию 2 в квадрате |x| минус логарифм по основанию 2 дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби = логарифм по основанию 2 в квадрате |x| минус левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x в квадрате минус 1 правая круглая скобка =$
$= логарифм по основанию 2 в квадрате |x| минус 2 логарифм по основанию 2 |x| плюс 1.$

Преобразуем правую часть: $логарифм по основанию 2 4 = 2,$ и потому

$левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию 2 4 плюс логарифм по основанию 4 |x| правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию 2 |x| правая круглая скобка в квадрате .$

Сделаем замену $t= логарифм по основанию 2 |x|,$ получим:

$t в квадрате минус 2t плюс 1 больше или равно левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: t, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате равносильно t в квадрате минус 2t плюс 1 больше или равно 1 плюс t плюс дробь: числитель: t в квадрате , знаменатель: 4 конец дроби равносильно$
$равносильно 3t в квадрате минус 12t больше или равно 0 равносильно t левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно совокупность выражений t меньше или равно 0, t больше или равно 4. конец совокупности .$

Таким образом,

$совокупность выражений логарифм по основанию 2 |x| меньше или равно 0, логарифм по основанию 2 |x| больше или равно 4 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 0 меньше |x| меньше или равно 1, |x| больше или равно 16 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x меньше или равно минус 16, минус 1 меньше или равно x меньше 0, 0 меньше x меньше или равно 1, x больше или равно 16. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 16 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка минус 1; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; 1 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 16; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

673602

$левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 16 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка минус 1; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; 1 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 16; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 487

Методы алгебры: Замена переменной

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	673602	$левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 16 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка минус 1; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; 1 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 16; плюс бесконечность правая круглая скобка .$