В правильном тетраэдре SNEG точки K и L — середины ребер NE и SG соответственно. Плоскость α перпендикулярна прямой KL и пересекает ребро EG в точке P.
а) Докажите, что прямая KL перпендикулярна ребрам NE и SG.
б) Найдите площадь сечения тетраэдра плоскостью α, если известно, что EP = 1, PG = 5.
ИЛИ
В кубе ABCDA1B1C1D1 отмечены точки M и N — середины сторон AB и AD соответственно.
а) Докажите, что прямые B1N и CM перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между этими прямыми, если 
Решение. 
а) Заметим, что 
как высоты в равных правильных треугольниках. Отрезок KL — медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника SKG, значит, отрезок KL — высота. Аналогично отрезок LK — высота и медиана равнобедренного треугольника NLE. Получили требуемое.
б) Пусть плоскость α пересекает ребра SE, SN, NG в точках Q, R, T соответственно. Плоскость α перпендикулярна отрезку KL, и отрезок SG перпендикулярен отрезку KL, значит, плоскость α параллельна отрезку SG. Аналогично плоскость α параллельна отрезкуNE.
Докажем, что отрезок QP параллелен отрезку SG. Действительно, пусть прямые QP и SG пересекаются в точке K (они не могут быть скрещивающимися, потому что лежат в одной плоскости). Тогда точка K принадлежит и плоскости α, и отрезку SG, что невозможно. Значит, отрезки QP и SG параллельны. Полностью аналогично доказывается параллельность отрезков RT и SG, а также параллельность отрезков RQ, NE и TP.
Кроме того, пусть отрезок SH — высота тетраэдра, тогда отрезок GH — проекция отрезка SG на плоскость NEG, а отрезок GH перпендикулярен отрезку NE. По теореме о трех перпендикулярах отрезок SG перпендикулярен отрезку NE. Далее, отрезок RQ перпендикулярен отрезку QP, следовательно, четырехугольник RQPT — прямоугольник. Треугольник QEP правильный, QP = EQ = 1, SQ = 5. Треугольник SRQ тоже правильный, значит, RQ = SQ = 5. Итак, SRQPT = 5.
Ответ: б) 5.
ИЛИ
а) Пусть отрезки BN и CM пересекаются в точке P, тогда:
то есть угол BPM — прямой. Отрезок BN — проекция отрезка B1N на плоскость ABCD, значит, по теореме о трех перпендикулярах угол между отрезками B1N и CM также прямой.
б) Плоскость BB1N перпендикулярна прямой CM, так как прямая BN перпендикулярна прямой CM и прямая BB1 перпендикулярна прямой CM. Возьмем на отрезке B1N точку Q такую, что отрезок PQ перпендикулярен прямой B1N. Получаем, что отрезок PQ — искомое расстояние.
Пусть AD = 2x, AN = x, тогда
Отрезок BP — высота прямоугольного треугольника MBC, следовательно,
откуда 
Треугольники PQN и BB1N подобны по двум углам, значит, 
и
Ответ: б) 
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
PDF-версии: 
