РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 667886 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 471

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус

Уравнения. Тригонометрические уравнения, разложение на множители

а)  Решите уравнение $синус 3x = 2 косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка .$

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие промежутку $левая круглая скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 0 правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Упростим, используя формулу приведения $косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус альфа правая круглая скобка = синус альфа :$

$синус 3x = 2 косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка равносильно синус 3x=2 синус x равносильно минус 4 синус в кубе x плюс 3 синус x минус 2 синус x=0 равносильно синус x минус 4 синус в кубе x=0 равносильно$
$равносильно синус x левая круглая скобка 1 минус 4 синус в квадрате x правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений синус x=0, синус x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= Пи k, x= дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x= дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= Пи k, x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k, x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $синус 3x = 2 косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка равносильно синус 3x=2 синус x равносильно минус 4 синус в кубе x плюс 3 синус x минус 2 синус x=0 равносильно$
$равносильно синус x минус 4 синус в кубе x=0 равносильно синус x левая круглая скобка 1 минус 4 синус в квадрате x правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус x=0, синус x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= Пи k, x= дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x= дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= Пи k, x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k, x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $синус 3x = 2 косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка равносильно синус 3x=2 синус x равносильно$
$равносильно минус 4 синус в кубе x плюс 3 синус x минус 2 синус x=0 равносильно синус x минус 4 синус в кубе x=0 равносильно$
$равносильно синус x левая круглая скобка 1 минус 4 синус в квадрате x правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений синус x=0, синус x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x= Пи k, x= дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x= дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= Пи k, x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k, x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $синус 3x = 2 косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка равносильно синус 3x=2 синус x равносильно$
$равносильно минус 4 синус в кубе x плюс 3 синус x минус 2 синус x=0 равносильно$
$равносильно синус x минус 4 синус в кубе x=0 равносильно$
$равносильно синус x левая круглая скобка 1 минус 4 синус в квадрате x правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений синус x=0, синус x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x= Пи k, x= дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x= дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= Пи k, x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k, x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$

б)  Найдем корни с помощью двойных неравенств:

$минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше Пи k меньше или равно 0 равносильно минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби меньше k меньше или равно 0 \underset k принадлежит Z \mathop равносильно совокупность выражений k= минус 1, k=0. конец совокупности .$

$минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k меньше или равно 0 равносильно минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби плюс k меньше или равно 0 равносильно минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби меньше k меньше или равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби \underset k принадлежит Z \mathop равносильно k= минус 1.$

$минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k меньше или равно 0 равносильно минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби меньше дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби плюс k меньше или равно 0 равносильно минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби меньше k меньше или равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби \underset k принадлежит Z \mathop равносильно совокупность выражений k= минус 1, k= минус 2. конец совокупности . .$ $минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k меньше или равно 0 равносильно минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби меньше дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби плюс k меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби меньше k меньше или равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби \underset k принадлежит Z \mathop равносильно совокупность выражений k= минус 1, k= минус 2. конец совокупности . .$

Полученным значениям k соответствуют корни: 0, $минус Пи ,$ $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Ответ: а)   $левая фигурная скобка Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)  0, $минус Пи ,$ $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

667886

а)   $левая фигурная скобка Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)  0, $минус Пи ,$ $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 471

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	667886	а)   $левая фигурная скобка Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)  0, $минус Пи ,$ $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$