PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет не менее двух решений на отрезке [1,5; 2,5].
Решение. Уравнение имеет смысл при
При таких значениях параметра уравнение равносильно совокупности
Рассмотрим второе уравнение совокупности. Геометрический смысл уравнения состоит в том, что в системе координат xOa сумма расстояний от точки 
до точек 
и 
равно 
Поскольку расстояние между точками и тоже равно 
это означает, что точка должна лежать на отрезке, соединяющем точки и 
Условию (⁎) удовлетворяет только одна точка этого отрезка — точка 
принадлежащая также и прямой 
задаваемой третьим уравнением совокупности. Таким образом, второе уравнение совокупности можно исключить, без потери или приобретения решений. Имеем:
Графиком полученной системы на плоскости xOa является объединение левой полуокружности радиусом 1 с центром в точке 
и отрезка AB прямой 
(выделено оранжевым). Анализируя построенный график получаем, что уравнение имеет не менее двух решений на отрезке [1,5; 2,5] (полоса, ограниченная прямыми 
и 
выделена зеленым) при 
и при 
где a1 и a2 соответственно — ординаты точек
и
пересечения дуги окружности с прямой 
Таким образом, исходное уравнение имеет не менее двух решений на отрезке [1,5; 2,5] при 
и при 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |