PDF-версии: 
В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 5 и BC = 12. Длины боковых рёбер пирамиды 
SB = 9, 
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямыми SC и BD.
Решение. а) Заметим, что
и 
поэтому стороны SA и AB, SA и AD попарно перпендикулярны. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости ребро SA перпендикулярно плоскости ABC: SA ⊥ AB и SA ⊥ AD, а потому SA ⊥ (ABC) и, следовательно, SA — высота пирамиды.
б) Через точку O пересечения диагоналей основания ABCD проведем OK — среднюю линию треугольника SAC. Тогда угол между прямыми SC и BD равен углу между прямыми OK и BD, так как OK параллельна SC. По теореме Пифагора найдем BK и SC:
Отрезок OK равен половине ребра SC, так как OK — средняя линия в треугольнике SAC. Отрезок OB равен половине диагонали BD, то есть 
Применим теорему косинусов для треугольника BOK:
откуда
Найденный косинус положительный, поэтому угол BOK острый, а значит, он является искомым. Тем самым угол между прямыми SC и BD равен 
Ответ: б) 
Приведем решение Александра Турбанова (Липецк).
а) В треугольнике SAB выполняется равенство
следовательно, по теореме, обратной теореме Пифагора, этот треугольник прямоугольный. Значит, прямая SA перпендикулярна прямой AD. Аналогично доказываем, что треугольник SAD — прямоугольный, а потому прямая SA перпендикулярна прямой AD. Тогда прямая SA перпендикулярна двум прямым (AB и AD), лежащим в плоскости ABD, а значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая SA перпендикулярна этой плоскости. Таким образом, отрезок SA — высота пирамиды SABCD.
б) Введем прямоугольную систему координат с началом в точке A (см. рис.). В этой системе координат:
Пусть α — искомый угол между SC и BD, тогда:
откуда 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |