PDF-версии: 
Дана трапеция ABCD с боковой стороной AB, которая перпендикулярна основаниям. Из точки А на сторону CD опущен перпендикуляр AH. На стороне AB взята точка E так, что прямые СЕ и СD перпендикулярны.
а) Доказать, что прямые BH и ED параллельны.
б) Найти отношение BH к ED, если 
Решение. а) Продлим стороны AB и DC до пересечения в точке O. Прямоугольные треугольники OBC, OCE, OHA и OAD подобны, так как имеют общий острый угол O. Значит,
Перемножая первые два и последние два отношения, находим: 
откуда по теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезках, заключаем, что прямые BH и ED параллельны.
б) Заметим, что 
Далее имеем:
Ответ: 1 : 2.
Приведем другое решение пункта а).
В четырехугольнике AECD противоположные углы EAD и ECD прямые, следовательно, около него можно описать окружность. Тогда углы CDE и EAC равны как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу. Аналогично из четырехугольника ABCH получаем, что углы BAC и CHB равны. Углы EAC и BAC равны, а значит, равны и углы CDE и CHB, откуда следует параллельность прямых BH и ED.
Приведем другое решение пункта б).
Угол ADO равен 45°, поэтому прямоугольный треугольник АОD равнобедренный. Значит, его высота АН является медианой: ОН = НD. Прямые ЕD и BН параллельны, тогда, по теореме Фалеса, ОВ = ВЕ. Значит, ВН — средняя линия треугольника ЕOD, а тогда ВН — половина ЕD.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |