PDF-версии: 
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно одно решение.
Решение. Запишем систему уравнений в виде
Построим график каждого из уравнений. Первое — пучок прямых, проходящих через точку 
Второе — часть гиперболы 
при 
и ее отражение относительно оси Ox.
Если 
то система имеет единственное решение 
если 
то 
Ясно, что при 
(положение 1) система имеет одно решение. Найдем теперь значение a, при котором прямая касается графика второго уравнения (положение 2). Ясно, что ордината точки касания положительна, поэтому 
тогда
Определим, при каких a, не равных нулю, уравнение имеет единственное решение. Для этого решим уравнение 
Если 
то 
значит, 
Теперь из геометрических соображений получаем, что при 
решений системы не меньше двух. Если же 
то решение ровно одно. В итоге получаем ответ: 
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |