Периметр треугольника ABC равен 36. Точки E и F — середины сторон AB и BC соответственно. Отрезок EF касается окружности, вписанной в треугольник ABC.
а) Докажите, что 
б) Найдите площадь треугольника ABC, если 
Решение. а) Так как четырехугольник AEFC описанный (см. рис. 1), то 
Поскольку E и F — середины сторон AB и BC, то EF — средняя линия, а, значит, 
Найдем периметр треугольника ABC:
Откуда следует, что 
то есть 
б) Так как 
то 
По теореме Пифагора (см. рис. 2), имеем: 
Получаем:
Тогда площадь треугольника ABC равна 
Ответ: б) 54.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |