PDF-версии: 
Окружность с центром в точке O касается сторон угла с вершиной N в точках A и B. Отрезок BC — диаметр этой окружности.
а) Докажите, что прямая AC параллельна биссектрисе угла ANB.
б) Найдите NO, если AB = 24 и AC = 10.
Решение. а) Точка O лежит на биссектрисе угла ANB, так как она равноудалена от AN и BN. Пусть AB пересекается с NO в точке M. Треугольники ANM и BNM равны: отрезки AN и BN равны, как отрезки касательных, проведенных из одной точки, углы ANM и BNM равны, поскольку NM — биссектриса угла ANB, MN — общая сторона. Следовательно, углы AMN и BMN равны, но они также являются смежными, поэтому они равны по 90°.
Потому NO перпендикулярна AB. Так как BC — диаметр окружности, то угол BAC прямой, значит, AC перпендикулярна AB. Отсюда следует, что AC параллельна NO — биссектрисе угла ANB.
б) Из прямоугольного треугольника ABC по теореме Пифагора найдем BC:
Треугольники ABC и MBO подобны с коэффициентом 2, значит, 
и 
Проекция катета на гипотенузу равна отношению квадрата этого катета к гипотенузе, поэтому:
Ответ: б) 33,8.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |