РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 660895 Добавить в вариант

Источники:

ЕГЭ по математике 31.05.2024. Основная волна. Ставропольский край;

Задания 13 ЕГЭ–2024.

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус

Методы алгебры: Формулы двойного угла, Формулы приведения

Уравнения. Тригонометрические уравнения, сводимые к квадратным

а)  Решите уравнение $косинус 2x плюс корень из 2 косинус левая круглая скобка Пи плюс x правая круглая скобка плюс 1 = 0.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 4 Пи ; минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Используя формулу приведения $косинус левая круглая скобка Пи плюс x правая круглая скобка = минус косинус x$ и формулу косинуса двойного угла $косинус 2x = 2 косинус в квадрате x минус 1,$ получаем:

$косинус 2x плюс корень из 2 косинус левая круглая скобка Пи плюс x правая круглая скобка плюс 1 = 0 равносильно 2 косинус в квадрате x минус 1 минус корень из 2 косинус x плюс 1 = 0 равносильно 2 косинус в квадрате x минус корень из 2 косинус x = 0 равносильно$
$равносильно косинус x левая круглая скобка 2 косинус x минус корень из 2 правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений косинус x = 0, косинус x = дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $косинус 2x плюс корень из 2 косинус левая круглая скобка Пи плюс x правая круглая скобка плюс 1 = 0 равносильно 2 косинус в квадрате x минус 1 минус корень из 2 косинус x плюс 1 = 0 равносильно$
$равносильно 2 косинус в квадрате x минус корень из 2 косинус x = 0 равносильно косинус x левая круглая скобка 2 косинус x минус корень из 2 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус x = 0, косинус x = дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $косинус 2x плюс корень из 2 косинус левая круглая скобка Пи плюс x правая круглая скобка плюс 1 = 0 равносильно$
$равносильно 2 косинус в квадрате x минус 1 минус корень из 2 косинус x плюс 1 = 0 равносильно 2 косинус в квадрате x минус корень из 2 косинус x = 0 равносильно$
$равносильно косинус x левая круглая скобка 2 косинус x минус корень из 2 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус x = 0, косинус x = дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $косинус 2x плюс корень из 2 косинус левая круглая скобка Пи плюс x правая круглая скобка плюс 1 = 0 равносильно$
$равносильно 2 косинус в квадрате x минус 1 минус корень из 2 косинус x плюс 1 = 0 равносильно$
$равносильно 2 косинус в квадрате x минус корень из 2 косинус x = 0 равносильно косинус x левая круглая скобка 2 косинус x минус корень из 2 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус x = 0, косинус x = дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $косинус 2x плюс корень из 2 косинус левая круглая скобка Пи плюс x правая круглая скобка плюс 1 = 0 равносильно$
$равносильно 2 косинус в квадрате x минус 1 минус корень из 2 косинус x плюс 1 = 0 равносильно$
$равносильно 2 косинус в квадрате x минус корень из 2 косинус x = 0 равносильно$
$равносильно косинус x левая круглая скобка 2 косинус x минус корень из 2 правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений косинус x = 0, косинус x = дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$

б)  С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 4 Пи минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$ Получим числа: $минус дробь: числитель: 15 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: а)   $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)   $минус дробь: числитель: 15 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

660895

а)   $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)   $минус дробь: числитель: 15 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Источники:

ЕГЭ по математике 31.05.2024. Основная волна. Ставропольский край;

Задания 13 ЕГЭ–2024.

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус

Методы алгебры: Формулы двойного угла, Формулы приведения

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	660895	а)   $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)   $минус дробь: числитель: 15 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$