РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 660806 Добавить в вариант

Источник: Задания 15 ЕГЭ–2024

Классификатор алгебры: Неравенства первой и второй степени относительно показательной функции

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов, Разложение на множители

Неравенства. Неравенства рациональные относительно показательной функции

Решите неравенство $дробь: числитель: 2 умножить на 4 в степени левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка , знаменатель: 2 умножить на 4 в степени левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка минус 1 конец дроби больше или равно дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 в степени x минус 8 конец дроби плюс дробь: числитель: 40, знаменатель: 16 в степени x минус 9 умножить на 4 в степени x плюс 8 конец дроби .$

Решение. Пусть $4 в степени x =t больше 0,$ тогда $2 умножить на 4 в степени левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка = дробь: числитель: 2 умножить на 4 в степени x , знаменатель: 16 конец дроби =0,125t,$ откуда получаем:

$дробь: числитель: 0,125t, знаменатель: 0,125t минус 1 конец дроби больше или равно дробь: числитель: 7, знаменатель: t минус 8 конец дроби плюс дробь: числитель: 40, знаменатель: t в квадрате минус 9t плюс 8 конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: t, знаменатель: t минус 8 конец дроби минус дробь: числитель: 7, знаменатель: t минус 8 конец дроби минус дробь: числитель: 40, знаменатель: левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 8 правая круглая скобка конец дроби \geqslant0 равносильно дробь: числитель: t левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка минус 7 левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка минус 40, знаменатель: левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 8 правая круглая скобка конец дроби \geqslant0 равносильно$ $дробь: числитель: 0,125t, знаменатель: 0,125t минус 1 конец дроби больше или равно дробь: числитель: 7, знаменатель: t минус 8 конец дроби плюс дробь: числитель: 40, знаменатель: t в квадрате минус 9t плюс 8 конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: t, знаменатель: t минус 8 конец дроби минус дробь: числитель: 7, знаменатель: t минус 8 конец дроби минус дробь: числитель: 40, знаменатель: левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 8 правая круглая скобка конец дроби \geqslant0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: t левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка минус 7 левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка минус 40, знаменатель: левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 8 правая круглая скобка конец дроби \geqslant0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: t в квадрате минус t минус 7t плюс 7 минус 40, знаменатель: левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 8 правая круглая скобка конец дроби \geqslant0 равносильно дробь: числитель: t в квадрате минус 8t минус 33, знаменатель: левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 8 правая круглая скобка конец дроби \geqslant0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 11 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 8 правая круглая скобка конец дроби \geqslant0 \underset t больше 0 \mathop равносильно совокупность выражений 1 меньше t меньше 8, t больше или равно 11. конец совокупности .$ $равносильно дробь: числитель: t в квадрате минус t минус 7t плюс 7 минус 40, знаменатель: левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 8 правая круглая скобка конец дроби \geqslant0 равносильно дробь: числитель: t в квадрате минус 8t минус 33, знаменатель: левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 8 правая круглая скобка конец дроби \geqslant0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 11 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 8 правая круглая скобка конец дроби \geqslant0 \underset t больше 0 \mathop равносильно совокупность выражений 1 меньше t меньше 8, t больше или равно 11. конец совокупности .$

Вернёмся к исходной переменной:

$совокупность выражений 1 меньше 4 в степени x меньше 8, 4 в степени x больше или равно 11 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 2 в степени 0 меньше 2 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка меньше 2 в кубе , 4 в степени x больше или равно 4 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 4 11 правая круглая скобка конец совокупности . равносильно совокупность выражений 0 меньше 2x меньше 3, x больше или равно логарифм по основанию 4 11. конец совокупности . равносильно совокупность выражений 0 меньше x меньше дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби , x больше или равно логарифм по основанию 4 11. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка логарифм по основанию 4 11; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

660806

$левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка логарифм по основанию 4 11; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Источник: Задания 15 ЕГЭ–2024

Классификатор алгебры: Неравенства первой и второй степени относительно показательной функции

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов, Разложение на множители

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	660806	$левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка логарифм по основанию 4 11; плюс бесконечность правая круглая скобка .$