РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 660762 Добавить в вариант

Источник: Задания 15 ЕГЭ–2024

Классификатор алгебры: Неравенства первой и второй степени относительно показательной функции

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов, Разложение на множители

Неравенства. Неравенства рациональные относительно показательной функции

Решите неравенство $11 в степени x минус 6 минус дробь: числитель: 24 умножить на 11 в степени x минус 244, знаменатель: 121 в степени x минус 16 умножить на 11 в степени x плюс 60 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 11 в степени x минус 10 конец дроби .$

Решение. Пусть $t=11 в степени x ,$ тогда имеем:

$t минус 6 минус дробь: числитель: 24t минус 244, знаменатель: t в квадрате минус 16t плюс 60 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: t минус 10 конец дроби равносильно t минус 6 минус дробь: числитель: 24t минус 244, знаменатель: левая круглая скобка t минус 6 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 10 правая круглая скобка конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: t минус 10 конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно t минус 6 минус дробь: числитель: 24t минус 244 плюс t минус 6, знаменатель: левая круглая скобка t минус 6 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 10 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно t минус 6 минус дробь: числитель: 25t минус 250, знаменатель: левая круглая скобка t минус 6 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 10 конец дроби меньше или равно 0 равносильно t минус 6 минус дробь: числитель: 25 левая круглая скобка t минус 10 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка t минус 6 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 10 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0.$ $t минус 6 минус дробь: числитель: 24t минус 244, знаменатель: t в квадрате минус 16t плюс 60 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: t минус 10 конец дроби равносильно t минус 6 минус дробь: числитель: 24t минус 244, знаменатель: левая круглая скобка t минус 6 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 10 правая круглая скобка конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: t минус 10 конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно t минус 6 минус дробь: числитель: 24t минус 244 плюс t минус 6, знаменатель: левая круглая скобка t минус 6 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 10 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно t минус 6 минус дробь: числитель: 25t минус 250, знаменатель: левая круглая скобка t минус 6 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 10 конец дроби меньше или равно 0 равносильно t минус 6 минус дробь: числитель: 25 левая круглая скобка t минус 10 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка t минус 6 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 10 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0.$ $t минус 6 минус дробь: числитель: 24t минус 244, знаменатель: t в квадрате минус 16t плюс 60 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: t минус 10 конец дроби равносильно$
$равносильно t минус 6 минус дробь: числитель: 24t минус 244, знаменатель: левая круглая скобка t минус 6 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 10 правая круглая скобка конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: t минус 10 конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно t минус 6 минус дробь: числитель: 24t минус 244 плюс t минус 6, знаменатель: левая круглая скобка t минус 6 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 10 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно t минус 6 минус дробь: числитель: 25t минус 250, знаменатель: левая круглая скобка t минус 6 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 10 конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно t минус 6 минус дробь: числитель: 25 левая круглая скобка t минус 10 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка t минус 6 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 10 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0.$ $t минус 6 минус дробь: числитель: 24t минус 244, знаменатель: t в квадрате минус 16t плюс 60 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: t минус 10 конец дроби равносильно$
$равносильно t минус 6 минус дробь: числитель: 24t минус 244, знаменатель: левая круглая скобка t минус 6 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 10 правая круглая скобка конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: t минус 10 конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно t минус 6 минус дробь: числитель: 24t минус 244 плюс t минус 6, знаменатель: левая круглая скобка t минус 6 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 10 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно t минус 6 минус дробь: числитель: 25t минус 250, знаменатель: левая круглая скобка t минус 6 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 10 конец дроби меньше или равно 0 равносильно t минус 6 минус дробь: числитель: 25 левая круглая скобка t минус 10 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка t минус 6 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 10 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0.$ $t минус 6 минус дробь: числитель: 24t минус 244, знаменатель: t в квадрате минус 16t плюс 60 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: t минус 10 конец дроби равносильно$
$равносильно t минус 6 минус дробь: числитель: 24t минус 244, знаменатель: левая круглая скобка t минус 6 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 10 правая круглая скобка конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: t минус 10 конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно t минус 6 минус дробь: числитель: 24t минус 244 плюс t минус 6, знаменатель: левая круглая скобка t минус 6 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 10 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно t минус 6 минус дробь: числитель: 25t минус 250, знаменатель: левая круглая скобка t минус 6 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 10 конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно t минус 6 минус дробь: числитель: 25 левая круглая скобка t минус 10 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка t минус 6 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 10 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0.$

При условии $t не равно 10$ сократим и получим:

$t минус 6 минус дробь: числитель: 25, знаменатель: t минус 6 конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 6 правая круглая скобка в квадрате минус 25, знаменатель: t минус 6 конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: t в квадрате минус 12t плюс 11, знаменатель: t минус 6 конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 11 правая круглая скобка , знаменатель: t минус 6 конец дроби меньше или равно 0 равносильно совокупность выражений t меньше или равно 1, 6 меньше t меньше 10, 10 меньше t меньше или равно 11. конец совокупности .$ $t минус 6 минус дробь: числитель: 25, знаменатель: t минус 6 конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 6 правая круглая скобка в квадрате минус 25, знаменатель: t минус 6 конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: t в квадрате минус 12t плюс 11, знаменатель: t минус 6 конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 11 правая круглая скобка , знаменатель: t минус 6 конец дроби меньше или равно 0 равносильно совокупность выражений t меньше или равно 1, 6 меньше t меньше 10, 10 меньше t меньше или равно 11. конец совокупности .$

Вернёмся к исходной переменной. Имеем:

$совокупность выражений 11 в степени x меньше или равно 1, 6 меньше 11 в степени x меньше 10, 10 меньше 11 в степени x меньше или равно 11. конец совокупности . равносильно совокупность выражений x меньше или равно 0, логарифм по основанию левая круглая скобка 11 правая круглая скобка 6 меньше x меньше логарифм по основанию левая круглая скобка 11 правая круглая скобка 10, логарифм по основанию левая круглая скобка 11 правая круглая скобка 10 меньше x меньше или равно 1. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; 0 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 11 правая круглая скобка 6; логарифм по основанию левая круглая скобка 11 правая круглая скобка 10 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 11 правая круглая скобка 10; 1 правая квадратная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

660762

$левая круглая скобка минус бесконечность ; 0 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 11 правая круглая скобка 6; логарифм по основанию левая круглая скобка 11 правая круглая скобка 10 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 11 правая круглая скобка 10; 1 правая квадратная скобка .$

Источник: Задания 15 ЕГЭ–2024

Классификатор алгебры: Неравенства первой и второй степени относительно показательной функции

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов, Разложение на множители

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	660762	$левая круглая скобка минус бесконечность ; 0 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 11 правая круглая скобка 6; логарифм по основанию левая круглая скобка 11 правая круглая скобка 10 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 11 правая круглая скобка 10; 1 правая квадратная скобка .$