РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 660758 Добавить в вариант

Источник: Задания 15 ЕГЭ–2024

Классификатор алгебры: Неравенства первой и второй степени относительно показательной функции

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов, Выделение полного квадрата, Разложение на множители

Неравенства. Неравенства рациональные относительно показательной функции

Решите неравенство $дробь: числитель: 6 умножить на 9 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка минус 10, знаменатель: 81 в степени левая круглая скобка x минус \tfrac12 правая круглая скобка минус 9 конец дроби меньше или равно 1.$

Решение. Пусть $t=9 в степени x ,$ $t больше 0,$ тогда $9 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби умножить на 9 в степени x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби t,$ $81 в степени левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби умножить на 81 в степени x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби t в квадрате .$ Подставим:

$дробь: числитель: 6 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби t минус 10, знаменатель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби t в квадрате минус 9 конец дроби меньше или равно 1 равносильно дробь: числитель: 6t минус 90, знаменатель: t в квадрате минус 81 конец дроби меньше или равно 1 равносильно дробь: числитель: 6t минус 90 минус левая круглая скобка t в квадрате минус 81 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка t минус 9 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 9 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: минус t в квадрате плюс 6t минус 9, знаменатель: левая круглая скобка t минус 9 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 9 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: t в квадрате минус 6t плюс 9, знаменатель: левая круглая скобка t минус 9 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 9 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка t минус 9 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 9 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно совокупность выражений t больше 9, t=3. конец совокупности .$ $дробь: числитель: 6 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби t минус 10, знаменатель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби t в квадрате минус 9 конец дроби меньше или равно 1 равносильно дробь: числитель: 6t минус 90, знаменатель: t в квадрате минус 81 конец дроби меньше или равно 1 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 6t минус 90 минус левая круглая скобка t в квадрате минус 81 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка t минус 9 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 9 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: минус t в квадрате плюс 6t минус 9, знаменатель: левая круглая скобка t минус 9 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 9 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: t в квадрате минус 6t плюс 9, знаменатель: левая круглая скобка t минус 9 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 9 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка t минус 9 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 9 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно совокупность выражений t больше 9, t=3. конец совокупности .$ $дробь: числитель: 6 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби t минус 10, знаменатель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби t в квадрате минус 9 конец дроби меньше или равно 1 равносильно дробь: числитель: 6t минус 90, знаменатель: t в квадрате минус 81 конец дроби меньше или равно 1 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 6t минус 90 минус левая круглая скобка t в квадрате минус 81 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка t минус 9 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 9 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: минус t в квадрате плюс 6t минус 9, знаменатель: левая круглая скобка t минус 9 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 9 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: t в квадрате минус 6t плюс 9, знаменатель: левая круглая скобка t минус 9 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 9 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка t минус 9 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 9 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно совокупность выражений t больше 9, t=3. конец совокупности .$

Вернёмся к исходной переменной. Получим:

$совокупность выражений 9 в степени x больше 9, 9 в степени x =3 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x больше 1, x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .$

Ответ: $левая фигурная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

660758

$левая фигурная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Источник: Задания 15 ЕГЭ–2024

Классификатор алгебры: Неравенства первой и второй степени относительно показательной функции

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов, Выделение полного квадрата, Разложение на множители

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	660758	$левая фигурная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка .$