PDF-версии: 
В правильном тетраэдре ABCD точки M и N — середины ребер AB и CD соответственно. Плоскость α перпендикулярна прямой MN и пересекает ребро BC в точке K.
а) Докажите, что прямая MN перпендикулярна ребрам AB и CD.
б) Найдите площадь сечения тетраэдра ABCD плоскостью α, если известно, что BK = 1 и KC = 5.
Решение. а) Прямая DM перпендикулярна прямой AB, так как треугольник ABD равносторонний, а точка M — середина стороны AB. Аналогично прямая CM перпендикулярна AB. Следовательно, прямая AB перпендикулярна плоскости CMD, поскольку она перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости. Тогда она перпендикулярна и прямой MN, лежащей в этой плоскости. Полностью аналогично можно показать, что прямая CD перпендикулярна плоскости ABN, в которой содержится прямая MN. Это и требовалось доказать.
б) Проведем через точку K прямую, параллельную прямой CD. Пусть она пересечет прямую BD в точке T. Через точку T проведем прямую, параллельную AB, пусть она пересечет AD в точке R. Аналогично определяется точка S.
Докажем, что сечение SRTK — искомое. Прямая TK параллельна прямой CD по построению. Прямая MN перпендикулярна прямой CD, поэтому она перпендикулярна и прямой TK. Аналогично прямая MN перпендикулярна прямой SK. Следовательно, прямая MN перпендикулярна плоскости SRT, поскольку перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости.
Четырехугольник SRTK — параллелограмм по построению. Прямая AB перпендикулярна прямой CD, поскольку ее проекция является биссектрисой в равностороннем треугольнике: углы BAC и BAD равны, а значит, проекция перпендикулярна прямой CD. Прямые TK и SK параллельны прямым CD и AB по построению, поэтому 
и 
Таким образом, площадь SRTK равна 
Ответ: б) 5.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |