РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

$система выражений левая круглая скобка x в квадрате плюс 3x плюс y минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус y плюс 4 правая круглая скобка \geqslant0,ax минус y минус 2a плюс 3=0,x\leqslant0 конец системы .$

имеет хотя бы одно решение.

Решение. Решим задачу графо-аналитическим способом. Изобразим решение неравенств данной системы в системе координат xOy. Для этого при $x меньше или равно 0$ построим графики $x в квадрате плюс 3x плюс y минус 4=0$ и $x минус y плюс 4=0.$ Первый график  — парабола $y= минус x в квадрате минус 3x плюс 4$ и второй  — прямая $y=x плюс 4$ разбивают полуплоскость на 4 части, в двух из которых (выделены зелёным) неравенство выполняется.

Графиком уравнения $ax минус y минус 2a плюс 3=0$ является пучок прямых $y=a левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка плюс 3,$ проходящих через точку с координатами $левая круглая скобка 2; 3 правая круглая скобка .$

Исходная система имеет единственное решение, если прямая $y=a левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка плюс 3$ имеет только одну общую точку с выделенными зелёным частями плоскости. Это достигается в двух случаях.

1.  Если прямая $y=a левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка плюс 3$ проходит через точку $левая круглая скобка минус 4; 0 правая круглая скобка$ (выделено оранжевым). Тогда $a=0,5.$

2.  Если прямая $y=a левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка плюс 3$ касается параболы $y= минус x в квадрате минус 3x плюс 4$ (выделено красным). Касательная к параболе имеет с ней единственную общую точку, поэтому уравнение $минус x в квадрате минус 3x плюс 4=a левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка плюс 3$ должно иметь единственное решение. Запишем его в виде $x в квадрате плюс левая круглая скобка a плюс 3 правая круглая скобка x минус 1 минус 2a=0$ и найдем дискриминант:

$D= левая круглая скобка a плюс 3 правая круглая скобка в квадрате минус 4 умножить на левая круглая скобка минус 1 минус 2a правая круглая скобка =a в квадрате плюс 14a плюс 13.$

Дискриминант обращается в нуль при $a= минус 1$ или $a= минус 13.$ При $a= минус 13$ абсцисса точки касания положительна, что не соответствует условию задачи. При $a= минус 1$ абсцисса точки касания $x_0= минус 1.$

Таким образом, исходная система:

  — при $a меньше минус 1$ не имеет решений;

  — при $a= минус 1$ имеет одно решение;

  — при $минус 1 меньше a меньше 0,5$ имеет бесконечное число решений;

  — при $a=0,5$ имеет одно решение;

  — при $a больше 0,5$ имеет бесконечное число решений.

Для того, чтобы система имела хотя бы одно решение необходимо, чтобы исходная система имела одно или более решений. Таким образом, $x принадлежит левая квадратная скобка минус 1; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Ответ: $левая квадратная скобка минус 1; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	4
С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет	3
С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений	2
В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	660704	$левая квадратная скобка минус 1; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Ключ