РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 660399 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 468

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Введение замены, Разложение на множители

Неравенства. Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Решите неравенство: $дробь: числитель: логарифм по основанию x 2 x в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию x 2 x в квадрате , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 x правая круглая скобка x умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 2 x в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка правая круглая скобка x конец дроби меньше 40.$

Решение. Перейдем к основанию 2, находим:

$дробь: числитель: логарифм по основанию x дробь: числитель: 2, знаменатель: x конец дроби умножить на логарифм по основанию x 2 x в квадрате , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 x правая круглая скобка x умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: конец дроби x в квадрате правая круглая скобка x конец дроби = дробь: числитель: дробь: числитель: логарифм по основанию 2 2 минус логарифм по основанию 2 x, знаменатель: логарифм по основанию 2 x конец дроби умножить на дробь: числитель: логарифм по основанию 2 2 плюс логарифм по основанию 2 x в квадрате , знаменатель: логарифм по основанию 2 x конец дроби , знаменатель: дробь: числитель: логарифм по основанию 2 x, знаменатель: логарифм по основанию 2 2 плюс логарифм по основанию 2 x конец дроби умножить на дробь: числитель: логарифм по основанию 2 x, знаменатель: логарифм по основанию 2 2 минус логарифм по основанию 2 x в квадрате конец дроби конец дроби = дробь: числитель: дробь: числитель: 1 минус логарифм по основанию 2 x, знаменатель: логарифм по основанию 2 x конец дроби умножить на дробь: числитель: 1 плюс 2 логарифм по основанию 2 x, знаменатель: логарифм по основанию 2 x конец дроби , знаменатель: дробь: числитель: логарифм по основанию 2 x, знаменатель: 1 плюс логарифм по основанию 2 x конец дроби умножить на дробь: числитель: логарифм по основанию 2 x, знаменатель: 1 минус 2 логарифм по основанию 2 x конец дроби конец дроби .$

Положим, $t = логарифм по основанию 2 x,$ получим:

$дробь: числитель: дробь: числитель: левая круглая скобка 1 минус t правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 2t правая круглая скобка , знаменатель: t в квадрате конец дроби , знаменатель: дробь: числитель: t в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка 1 плюс t правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус 2t правая круглая скобка конец дроби конец дроби = дробь: числитель: левая круглая скобка 1 минус t правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс t правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 2t правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус 2t правая круглая скобка , знаменатель: t в степени 4 конец дроби = дробь: числитель: левая круглая скобка 1 минус t в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус 4t в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: t в степени 4 конец дроби ,$

при условиях $t не равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$ $t не равно минус 1.$ Пусть $y = t в квадрате ,$ тогда

$дробь: числитель: левая круглая скобка 1 минус y правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус 4y правая круглая скобка , знаменатель: y в квадрате конец дроби меньше 40 равносильно система выражений y не равно 0, 4y в квадрате минус 5y плюс 1 меньше 40y в квадрате конец системы . равносильно система выражений y не равно 0, 36y в квадрате плюс 5y минус 1 больше 0 конец системы . равносильно совокупность выражений y меньше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби , y больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби . конец совокупности .$ $дробь: числитель: левая круглая скобка 1 минус y правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус 4y правая круглая скобка , знаменатель: y в квадрате конец дроби меньше 40 равносильно система выражений y не равно 0, 4y в квадрате минус 5y плюс 1 меньше 40y в квадрате конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений y не равно 0, 36y в квадрате плюс 5y минус 1 больше 0 конец системы . равносильно совокупность выражений y меньше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби , y больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби . конец совокупности .$

Таким образом, $t в квадрате меньше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ,$ что невозможно, или $t в квадрате больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби ,$ откуда $t меньше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби$ или $t больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$

С учетом условий $t не равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$ $t не равно минус 1$ имеем:

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше t меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$

$t больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$

$минус 1 меньше t меньше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ,$

$t меньше минус 1.$

Вернемся к исходной переменной, получим:

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше логарифм по основанию 2 x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно 2 в степени д робь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше x меньше 2 в степени д робь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$

$логарифм по основанию 2 x больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно x больше 2 в степени д робь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$

$минус 1 меньше логарифм по основанию 2 x меньше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше 2 в степени левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка ,$

$логарифм по основанию 2 x меньше минус 1 равносильно 0 меньше x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: $левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; 2 в степени левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка ; корень из 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка корень из 2 ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

660399

$левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; 2 в степени левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка ; корень из 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка корень из 2 ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 468

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Введение замены, Разложение на множители

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	660399	$левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; 2 в степени левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка ; корень из 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка корень из 2 ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$