РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д12 C3 № 660092 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 467

Сложные неравенства. Неравенства различных типов

Решите неравенство:

$дробь: числитель: 2 логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате дробь: числитель: x в квадрате минус 4 x плюс 4, знаменатель: 10 минус 3 x конец дроби , знаменатель: 4 минус 2 логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 16 x минус 20 минус 3 x в квадрате правая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 x минус 10 правая круглая скобка в квадрате конец дроби меньше или равно 3.$

Решение. Обозначим $a = x минус 2,$ $b = 10 минус 3x,$ получим:

$дробь: числитель: 2 логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка в квадрате дробь: числитель: a в квадрате , знаменатель: b конец дроби , знаменатель: 4 минус 2 логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка ab минус логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка b в квадрате конец дроби меньше или равно 3.$

Неравенство определено, если $дробь: числитель: a в квадрате , знаменатель: b конец дроби больше 0,$ а потому $a, b больше 0,$ кроме того $a не равно 1.$ Для таких значений переменной справедливы тождества:

$логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка дробь: числитель: a в квадрате , знаменатель: b конец дроби = логарифм по основанию a a в квадрате минус логарифм по основанию a b= 2 минус логарифм по основанию a b,$

$логарифм по основанию a ab = логарифм по основанию 2 a плюс логарифм по основанию 2 b,$

$логарифм по основанию a b в квадрате = 2 логарифм по основанию 2 b = 2 логарифм по основанию a b.$

Поэтому, обозначая, $t = логарифм по основанию a b,$ находим:

$дробь: числитель: 4 минус 4t плюс t в квадрате , знаменатель: 1 минус 2t конец дроби меньше или равно 3 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 1 минус 2t конец дроби меньше или равно 0 равносильно совокупность выражений t больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , t = минус 1. конец совокупности .$

Таким образом, при условиях

$система выражений x минус 2 больше 0, x минус 2 не равно 1, 10 минус 3 x больше 0 конец системы . равносильно совокупность выражений 2 меньше x меньше 3, 3 меньше x меньше дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби конец совокупности . \qquad левая круглая скобка * правая круглая скобка$

получаем:

$совокупность выражений логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 10 минус 3x правая круглая скобка больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 10 минус 3x правая круглая скобка = минус 1 конец совокупности . \underset левая круглая скобка * правая круглая скобка \mathop равносильно совокупность выражений система выражений x минус 2 меньше 1, 10 минус 3x меньше корень из: начало аргумента: x минус 2 конец аргумента , конец системы . система выражений x минус 2 больше 1, 10 минус 3x больше корень из: начало аргумента: x минус 2 конец аргумента , конец системы . 10 минус 3x = дробь: числитель: 1, знаменатель: x минус 2 конец дроби , конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений x меньше 3, 100 минус 60x плюс 9x в квадрате меньше x минус 2, конец системы . система выражений x больше 3, 100 минус 60x плюс 9x в квадрате больше x минус 2, конец системы . минус 3x в квадрате плюс 16x минус 20 = 1, конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений система выражений x меньше 3, 9x в квадрате минус 61x плюс 102 меньше 0, конец системы . система выражений x больше 3, 9x в квадрате минус 61x плюс 102 больше 0, конец системы . 3x в квадрате минус 16x плюс 21 = 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений x меньше 3, 3 меньше x меньше дробь: числитель: 34, знаменатель: 9 конец дроби правая круглая скобка , конец системы . система выражений x больше 3, x меньше 3 или x больше дробь: числитель: 34, знаменатель: 9 конец дроби , конец системы . совокупность выражений x = дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби , x = 3, конец совокупности . конец совокупности . равносильно совокупность выражений x больше дробь: числитель: 34}9, x = дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби , x = 3 конец совокупности . \underset левая круглая скобка * правая круглая скобка , знаменатель: \mathop{ равносильно конец дроби x = дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби .$ $совокупность выражений логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 10 минус 3x правая круглая скобка больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 10 минус 3x правая круглая скобка = минус 1 конец совокупности . \underset левая круглая скобка * правая круглая скобка \mathop равносильно совокупность выражений система выражений x минус 2 меньше 1, 10 минус 3x меньше корень из: начало аргумента: x минус 2 конец аргумента , конец системы . система выражений x минус 2 больше 1, 10 минус 3x больше корень из: начало аргумента: x минус 2 конец аргумента , конец системы . 10 минус 3x = дробь: числитель: 1, знаменатель: x минус 2 конец дроби , конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений система выражений x меньше 3, 100 минус 60x плюс 9x в квадрате меньше x минус 2, конец системы . система выражений x больше 3, 100 минус 60x плюс 9x в квадрате больше x минус 2, конец системы . минус 3x в квадрате плюс 16x минус 20 = 1, конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений x меньше 3, 9x в квадрате минус 61x плюс 102 меньше 0, конец системы . система выражений x больше 3, 9x в квадрате минус 61x плюс 102 больше 0, конец системы . 3x в квадрате минус 16x плюс 21 = 0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений система выражений x меньше 3, 3 меньше x меньше дробь: числитель: 34, знаменатель: 9 конец дроби правая круглая скобка , конец системы . система выражений x больше 3, x меньше 3 или x больше дробь: числитель: 34, знаменатель: 9 конец дроби , конец системы . совокупность выражений x = дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби , x = 3, конец совокупности . конец совокупности . равносильно совокупность выражений x больше дробь: числитель: 34}9, x = дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби , x = 3 конец совокупности . \underset левая круглая скобка * правая круглая скобка , знаменатель: \mathop{ равносильно конец дроби x = дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби .$ $совокупность выражений логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 10 минус 3x правая круглая скобка больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 10 минус 3x правая круглая скобка = минус 1 конец совокупности . \underset левая круглая скобка * правая круглая скобка \mathop равносильно совокупность выражений система выражений x минус 2 меньше 1, 10 минус 3x меньше корень из: начало аргумента: x минус 2 конец аргумента , конец системы . система выражений x минус 2 больше 1, 10 минус 3x больше корень из: начало аргумента: x минус 2 конец аргумента , конец системы . 10 минус 3x = дробь: числитель: 1, знаменатель: x минус 2 конец дроби , конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений система выражений x меньше 3, 100 минус 60x плюс 9x в квадрате меньше x минус 2, конец системы . система выражений x больше 3, 100 минус 60x плюс 9x в квадрате больше x минус 2, конец системы . минус 3x в квадрате плюс 16x минус 20 = 1, конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений система выражений x меньше 3, 9x в квадрате минус 61x плюс 102 меньше 0, конец системы . система выражений x больше 3, 9x в квадрате минус 61x плюс 102 больше 0, конец системы . 3x в квадрате минус 16x плюс 21 = 0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений система выражений x меньше 3, 3 меньше x меньше дробь: числитель: 34, знаменатель: 9 конец дроби правая круглая скобка , конец системы . система выражений x больше 3, x меньше 3 или x больше дробь: числитель: 34, знаменатель: 9 конец дроби , конец системы . совокупность выражений x = дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби , x = 3, конец совокупности . конец совокупности . равносильно совокупность выражений x больше дробь: числитель: 34}9, x = дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби , x = 3 конец совокупности . \underset левая круглая скобка * правая круглая скобка , знаменатель: \mathop{ равносильно конец дроби x = дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби .$

Выше мы воспользовались тем, что $дробь: числитель: 34, знаменатель: 9 конец дроби больше дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби .$

Ответ: $левая фигурная скобка дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби правая фигурная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Ответ: $левая фигурная скобка дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби правая фигурная скобка .$

660092

$левая фигурная скобка дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби правая фигурная скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 467

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	660092	$левая фигурная скобка дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби правая фигурная скобка .$