РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 658806 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 464

Классификатор алгебры: Уравнения смешанного типа, Область определения уравнения

Уравнения. Тригонометрические уравнения, разные задачи

а)  Решите уравнение $дробь: числитель: левая круглая скобка тангенс x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 13 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 синус в квадрате x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 31 правая круглая скобка левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус x правая круглая скобка конец дроби = 0.$

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус Пи ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. Область определения уравнения задается условиями

$косинус x не равно 0,$

$2 синус в квадрате x не равно 0,$

$косинус x больше 0,$

$корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус x не равно 1.$

На области определения дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, откуда получаем:

$дробь: числитель: левая круглая скобка тангенс x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 13 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 синус в квадрате x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 31 правая круглая скобка левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус x правая круглая скобка конец дроби = 0 равносильно система выражений 0 меньше косинус x не равно дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби , совокупность выражений тангенс x плюс корень из 3 = 0, логарифм по основанию левая круглая скобка 12 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 синус в квадрате x правая круглая скобка = 0 конец системы . конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений 0 меньше косинус x не равно дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби , синус x не равно 0, совокупность выражений тангенс x = минус корень из 3 , синус в квадрате x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . конец совокупности . равносильно система выражений 0 меньше косинус x не равно дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби , синус x не равно 0, совокупность выражений тангенс x = минус корень из 3 , синус x = дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби , синус x = минус дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби . конец системы . конец совокупности .$ $дробь: числитель: левая круглая скобка тангенс x плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 13 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 синус в квадрате x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 31 правая круглая скобка левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента косинус x правая круглая скобка конец дроби = 0 равносильно$
$равносильно система выражений 0 меньше косинус x не равно дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби , совокупность выражений тангенс x плюс корень из 3 = 0, логарифм по основанию левая круглая скобка 12 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 синус в квадрате x правая круглая скобка = 0 конец системы . конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений 0 меньше косинус x не равно дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби , синус x не равно 0, совокупность выражений тангенс x = минус корень из 3 , синус в квадрате x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . конец совокупности . равносильно система выражений 0 меньше косинус x не равно дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби , синус x не равно 0, совокупность выражений тангенс x = минус корень из 3 , синус x = дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби , синус x = минус дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби . конец системы . конец совокупности .$

Используя тригонометрическую окружность, выберем серии решений. Получим $x = минус дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 3 плюс 2 Пи k,$ где параметр k пробегает множество целых чисел.

б)  Отберем корни, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус Пи ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка ,$ при помощи двойного неравенства. Находим:

$минус Пи меньше или равно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k меньше или равно дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби равносильно минус 1 меньше или равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби плюс 2k меньше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби равносильно минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно 2k меньше или равно дробь: числитель: 11, знаменатель: 6 конец дроби равносильно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно k меньше или равно дробь: числитель: 11, знаменатель: 12 конец дроби \underset k равносильно Z \mathop равносильно k = 0.$ $минус Пи меньше или равно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k меньше или равно дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби равносильно минус 1 меньше или равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби плюс 2k меньше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно 2k меньше или равно дробь: числитель: 11, знаменатель: 6 конец дроби равносильно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно k меньше или равно дробь: числитель: 11, знаменатель: 12 конец дроби \underset k равносильно Z \mathop равносильно k = 0.$

Найденному значению параметра соответствует корень $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 3 плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 3.$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

658806

а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 3 плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 3.$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 464

Классификатор алгебры: Уравнения смешанного типа, Область определения уравнения

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	658806	а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 3 плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 3.$