PDF-версии: 
Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что 
б) Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника ABC, до стороны BC, если 
и 
Решение. а) Точки A, C1, H, B1 лежат на окружности с диаметром AH. Углы С1AH и C1B1H равны как вписанные, значит, углы тоже BAH и BB1C1 тоже равны. Что и требовалось доказать.
б) Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC, D — середина стороны BC. Требуется вычислить длину отрезка OD. Заметим, что
Значит, 
Угол BOС равен удвоенному углу BAC, то есть 120°. Следовательно, угол OBD равен 30°. Найдем искомое расстояние:
Ответ: б) 10.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |