В треугольнике ABC биссектрисы AK и BL пересекаются в точке I. Известно, что около четырёхугольника CKIL можно описать окружность.
а) Докажите, что угол BCA равен 60°.
б) Найдите площадь треугольника ABC, если его периметр равен 32 и IC = 6.
а) Обозначим через α и β углы CAB и ABC соответственно. Тогда углы IAB и ABI равны 
и 
соответственно. По теореме о сумме углов треугольника получаем, что угол BIA равен 
Такая же величина у вертикального к нему угла LIK. По условию около четырёхугольника CKIL можно описать окружность. Следовательно, угол BCA дополняет угол LIK до 180°. С другой стороны, по теореме о сумме углов треугольника угол BCA дополняет до 180° сумму углов α и β. Следовательно, 
откуда 
Значит, угол BCA равен 60°.
б) Поскольку точка I является точкой пересечения биссектрис AK и BL, она также лежит на биссектрисе угла BCA и является центром вписанной окружности в треугольник ABC. Значит, радиус этой окружности равен длине перпендикуляра IH, опущенного из этой точки на сторону BC. По доказанному угол HCI равен половине угла BCA, то есть он равен 30°. В прямоугольном треугольнике HCI против угла в 30° лежит катет IH. Следовательно, 
Площадь треугольника ABC равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности. Значит, эта площадь равна 
Ответ: б) 48.