РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 653514 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 452

Классификатор алгебры: Неравенства, рациональные относительно логарифмической функции

Неравенства. Логарифмы и показательные выражения

Решите неравенство: $дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка правая круглая скобка 27, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка минус 81 x правая круглая скобка конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 3 логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 3 3 в степени x конец дроби .$

Решение. Преобразуем неравенство:

$дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка правая круглая скобка 27, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка минус 81 x правая круглая скобка конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 3 логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 3 3 в степени x конец дроби равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 3 27 умножить на логарифм по основанию 3 3 в степени левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 3 3 в степени левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 3 левая круглая скобка минус 81x правая круглая скобка конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби логарифм по основанию 3 левая круглая скобка минус x правая круглая скобка равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 3 левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 плюс логарифм по основанию 3 левая круглая скобка минус x правая круглая скобка правая круглая скобка конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби логарифм по основанию 3 левая круглая скобка минус x правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно система выражений дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 плюс логарифм по основанию 3 левая круглая скобка минус x правая круглая скобка конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби логарифм по основанию 3 левая круглая скобка минус x правая круглая скобка меньше или равно 0 , x не равно минус 4. конец системы .$ $дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка правая круглая скобка 27, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка минус 81 x правая круглая скобка конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 3 логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 3 3 в степени x конец дроби равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 3 27 умножить на логарифм по основанию 3 3 в степени левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 3 3 в степени левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 3 левая круглая скобка минус 81x правая круглая скобка конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби логарифм по основанию 3 левая круглая скобка минус x правая круглая скобка равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 3 левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 плюс логарифм по основанию 3 левая круглая скобка минус x правая круглая скобка правая круглая скобка конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби логарифм по основанию 3 левая круглая скобка минус x правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 плюс логарифм по основанию 3 левая круглая скобка минус x правая круглая скобка конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби логарифм по основанию 3 левая круглая скобка минус x правая круглая скобка меньше или равно 0 , x не равно минус 4. конец системы .$ $дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка правая круглая скобка 27, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка минус 81 x правая круглая скобка конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 3 логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac1 правая круглая скобка 3 3 в степени x конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 3 27 умножить на логарифм по основанию 3 3 в степени левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 3 3 в степени левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 3 левая круглая скобка минус 81x правая круглая скобка конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби логарифм по основанию 3 левая круглая скобка минус x правая круглая скобка равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 3 левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 плюс логарифм по основанию 3 левая круглая скобка минус x правая круглая скобка правая круглая скобка конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби логарифм по основанию 3 левая круглая скобка минус x правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 плюс логарифм по основанию 3 левая круглая скобка минус x правая круглая скобка конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби логарифм по основанию 3 левая круглая скобка минус x правая круглая скобка меньше или равно 0 , x не равно минус 4. конец системы .$

Решим первое неравенство полученной системы. Пусть $логарифм по основанию 3 левая круглая скобка минус x правая круглая скобка =t,$ тогда

$дробь: числитель: 3, знаменатель: конец дроби 4 плюс t минус дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: 2t минус 4, знаменатель: t левая круглая скобка t плюс 4 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно совокупность выражений t меньше минус 4, 0 меньше t меньше или равно 2. конец совокупности .$

Вернёмся к исходной переменной:

$совокупность выражений логарифм по основанию 3 левая круглая скобка минус x правая круглая скобка меньше минус 4, 0 меньше логарифм по основанию 3 левая круглая скобка минус x правая круглая скобка меньше или равно 2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 0 меньше минус x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 81 , 1 меньше минус x меньше или равно 9 конец совокупности . равносильно совокупность выражений минус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 81 меньше x меньше 0 , минус 9 меньше или равно x меньше минус 1. конец совокупности .$

С учётом условия $x не равно минус 4$ получаем:

$совокупность выражений минус 9 меньше или равно x меньше минус 4, минус 4 меньше x меньше минус 1, минус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 81 меньше x меньше 0. конец совокупности .$

Ответ: $левая квадратная скобка минус 9; минус 4 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 4; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 81; 0 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

653514

$левая квадратная скобка минус 9; минус 4 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 4; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 81; 0 правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 452

Классификатор алгебры: Неравенства, рациональные относительно логарифмической функции

Методы алгебры: Введение замены

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	653514	$левая квадратная скобка минус 9; минус 4 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 4; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 81; 0 правая круглая скобка .$