PDF-версии: 
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AD = 12, а высота равна 3. На ребрах AB, CD, AS отмечены точки E, F и К соответственно, причем 
и AK = 3.
а) Докажите, что плоскости KEF и SBC параллельны.
б) Найдите расстояние от точки К до плоскости SBC.
Решение. а) Заметим, что поскольку AE = DF, то прямые AD, BC, EF параллельны. Следовательно, плоскость KEF пересекается с плоскостью SAD по прямой, также параллельной прямой AD. Пусть точка L — точка пересечения этой прямой с ребром SD, O — центр основания. Тогда
Таким образом, 
следовательно, по обратной теореме Фалеса, прямые KE и SB параллельны, то есть плоскости KEF и SBC содержат две пары пересекающихся параллельных прямых и, следовательно, параллельны.
б) Из п. а) следует, что прямая KL параллельна плоскости SBC, следовательно, расстояние от точки K до плоскости SBC равно расстоянию до плоскости SBC от любой точки прямой KL. Пусть M и N — середины ребер AD и BC соответственно. Рассмотрим плоскость SMN, заметим, что она содержит высоту пирамиды SO, высота SO перпендикулярна стороне BC. Кроме того, отрезок MN перпендикулярен стороне BC, следовательно, плоскость SMN перпендикулярна прямой BC.
Пусть G — точка пересечения плоскости SMN с прямой KL. Из точки G в плоскости SMN на прямую SN опустим перпендикуляр GH, тогда отрезок GH перпендикулярен стороне BC и отрезок GH перпендикулярен отрезку SN, следовательно, отрезок GH перпендикулярен плоскости SBC и его длина равна расстоянию от точк G (а следовательно, и от точки K) до плоскости SBC.
Заметим, что 
следовательно, 
где 
— расстояние от точки M до прямой SN, то есть длина высоты треугольника SMN, опущенной из вершины M. Находим:
Следовательно,
откуда 
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |