РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

В нескольких одинаковых бочках налито некоторое количество литров воды (необязательно одинаковое). За один раз можно перелить любое количество воды из одной бочки в другую.

а)  Пусть есть четыре бочки, в которых 29, 32, 40, 91 литров. Можно ли не более чем за четыре переливания уравнять количество воды в бочках?

б)  Пусть есть семь бочек. Всегда ли можно уравнять количество воды во всех бочках не более чем за пять переливаний?

в)  За какое наименьшее количество переливаний можно заведомо уравнять количество воды в 26 бочках?

Решение. а)  Перельём из последней бочки в первую 31 литр воды, а из третьей во вторую  — 4 литра. Тогда в первой и последней будет по 60 литров, во второй и третьей  — по 36 литров воды. Перельём теперь из последней в третью и из первой во вторую по 12 литров воды. Получим в каждой бочке по 48 литров воды, что и требовалось.

б)  Пусть есть семь бочек, в первых шести из которых по одному литру воды, а в последней  — 8 литров воды. В каждой бочке должно оказаться в итоге по 2 литра воды. Следовательно, в каждую из первых шести бочек надо как минимум один раз наливать воду. Значит, переливаний должно быть не меньше шести.

в)  Докажем, что меньше чем 25 переливаний может не хватить. Пусть есть 26 бочек, в первых 25 из которых по одному литру воды, а в последней  — 27 литров воды. Тогда, как в пункте «б», надо выливать воду в каждую из первых 25 бочек, следовательно, переливаний должно быть не менее 25.

Докажем, что за 25 переливаний всегда можно уравнять количество воды во всех бочках. Пусть общий объём воды в бочках равняется 26x литров воды. Так как этот объём при переливаниях не меняется, то в каждой бочке в итоге должно оказаться ровно x литров воды.

Если во всех бочках ровно x литров воды, то переливаний не требуется. Иначе найдётся такая бочка, в которой больше чем x литров воды, и такая, в которой меньше чем x литров воды. Будем переливать воду из первой бочки во вторую, пока в одной из них не станет ровно x литров воды. После этого переливания количество бочек, в которых ровно x литров воды, увеличится. Тогда не более чем через 25 таких переливаний в 25 бочках будет ровно x литров воды. Значит, и в оставшейся бочке тоже будет равно x литров воды.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  25.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующих результатов: ―  обоснованное решение п. a; ―  обоснованное решение п. б; ―  искомая оценка в п. в; ―  пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Ключ