РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 17 № 648775 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 444

Методы геометрии: Свойства касательных, секущих

Классификатор планиметрии: Окружности и треугольники

Источник/автор: Артур Анищенко

Планиметрическая задача. Описанные окружности и треугольники

В остроугольном треугольнике АВС отмечены: H  — точка пересечения высот, О  — центр описанной окружности, A₁  — середина BC. Луч A₁H пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке D, причем $D H = 2 A_1 H.$

а)  Докажите, что OH перпендикулярна DA₁.

б)  Пусть дополнительно известно, что описанная окружность около треугольника ОНА₁ касается АН. Найдите угол между прямыми AA₁ и BC.

Решение. а)  Пусть точка D₁ симметрична точке H относительно A₁. Тогда

$\angle BD_1C = \angle BHC = 180 градусов минус \angle BAC.$

Следовательно, точка D₁ лежит на описанной окружности треугольника ABC. Тогда из условия следует, что отрезок OH  — медиана треугольника ODD₁. Но $OD =OD_1$ как радиусы, следовательно, медиана OH перпендикулярна хорде DD₁.

б)  Описанная окружность треугольника OHA₁ касается отрезка AH, поэтому

$\angle AHO = \angle HA_1 O = \angle A_1OH.$

Последнее равенство верно, поскольку отрезки OA₁ и AH параллельны. Тогда $OH = HA_1$ и

$\angle AHO = \angle HA_1O = \angle A_1OH = 45 градусов.$

Пусть отрезок AH пересекает сторону BC в точке K и $HK = x.$ Значит, $KA_1 = x$ и $HA_1 = корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента x,$ откуда $OA_1 = корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента умножить на HA_1 = 2x.$ Находим:

$AH = 2 OA_ 1= 4x равносильно AK = 5 x.$

Таким образом, угол между прямыми AA₁ и BC равен

$\angle AA_1K = арктангенс дробь: числитель: KA, знаменатель: KA_1 конец дроби = арктангенс 5.$

Ответ: б) $арктангенс 5.$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: б) $арктангенс 5.$

648775

б) $арктангенс 5.$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 444

Методы геометрии: Свойства касательных, секущих

Классификатор планиметрии: Окружности и треугольники

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	648775	б) $арктангенс 5.$