РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 648773 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 444

Классификатор алгебры: Неравенства рациональные относительно показательной функции, Неравенства смешанного типа

Неравенства. Логарифмы и иррациональности

Решите неравенство: $логарифм по основанию 2 x минус 5 корень из: начало аргумента: логарифм по основанию 2 x конец аргумента плюс 6 больше или равно дробь: числитель: 31 минус 5 корень из: начало аргумента: логарифм по основанию 2 x конец аргумента , знаменатель: логарифм по основанию 2 x плюс 5 корень из: начало аргумента: логарифм по основанию 2 x конец аргумента плюс 7 конец дроби .$

Решение. Пусть $корень из: начало аргумента: логарифм по основанию 2 x конец аргумента =t,$ $t больше или равно 0.$ Тогда при $x больше или равно 1$ верно равенство $t в квадрате = логарифм по основанию 2 x,$ а потому

$t в квадрате минус 5t плюс 6 больше или равно дробь: числитель: 31 минус 5t, знаменатель: t в квадрате плюс 5t плюс 7 конец дроби .$

Знаменатель дроби в правой части неравенства положителен при всех значениях t, значит, можно умножить на него обе части неравенства, не меняя знака неравенства. Получаем:

$левая круглая скобка t в квадрате минус 5t плюс 6 правая круглая скобка левая круглая скобка t в квадрате плюс 5t плюс 7 правая круглая скобка больше или равно 31 минус 5t равносильно t в степени 4 минус 5t в кубе плюс 6t в квадрате плюс 5t в кубе минус 25t в квадрате плюс 30t плюс 7t в квадрате минус 35t плюс 42 больше или равно 31 минус 5t равносильно$
$равносильно t в степени 4 минус 12t в квадрате плюс 11 больше или равно 0 равносильно левая круглая скобка t в квадрате минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t в квадрате минус 11 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно совокупность выражений t в квадрате меньше или равно 1, t в квадрате больше или равно 11. конец совокупности .$ $левая круглая скобка t в квадрате минус 5t плюс 6 правая круглая скобка левая круглая скобка t в квадрате плюс 5t плюс 7 правая круглая скобка больше или равно 31 минус 5t равносильно$
$равносильно t в степени 4 минус 5t в кубе плюс 6t в квадрате плюс 5t в кубе минус 25t в квадрате плюс 30t плюс 7t в квадрате минус 35t плюс 42 больше или равно 31 минус 5t равносильно$
$равносильно t в степени 4 минус 12t в квадрате плюс 11 больше или равно 0 равносильно левая круглая скобка t в квадрате минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t в квадрате минус 11 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно совокупность выражений t в квадрате меньше или равно 1, t в квадрате больше или равно 11. конец совокупности .$ $левая круглая скобка t в квадрате минус 5t плюс 6 правая круглая скобка левая круглая скобка t в квадрате плюс 5t плюс 7 правая круглая скобка больше или равно 31 минус 5t равносильно$
$равносильно t в степени 4 минус 5t в кубе плюс 6t в квадрате плюс 5t в кубе минус 25t в квадрате плюс 30t плюс 7t в квадрате минус 35t плюс 42 больше или равно 31 минус 5t равносильно$
$равносильно t в степени 4 минус 12t в квадрате плюс 11 больше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка t в квадрате минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t в квадрате минус 11 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно совокупность выражений t в квадрате меньше или равно 1, t в квадрате больше или равно 11. конец совокупности .$

Вернемся к исходной переменной, находим:

$система выражений x больше или равно 1, совокупность выражений логарифм по основанию 2 x меньше или равно 1, логарифм по основанию 2 x больше или равно 11. конец системы . конец совокупности . равносильно система выражений x больше или равно 1, совокупность выражений 0 меньше x меньше или равно 2, x больше или равно 2 в степени левая круглая скобка 11 правая круглая скобка конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений 1 меньше или равно x меньше или равно 2, x больше или равно 2048. конец совокупности .$

Ответ: $левая квадратная скобка 1; 2 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 2048; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

648773

$левая квадратная скобка 1; 2 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 2048; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 444

Методы алгебры: Замена переменной

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	648773	$левая квадратная скобка 1; 2 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 2048; плюс бесконечность правая круглая скобка .$