РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 17 № 648014 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 442

Классификатор планиметрии: Треугольники

Планиметрическая задача. Треугольники и их свойства

В остроугольном треугольнике ABC $A B больше A C,$ угол A равен 60°. Точка D  — точка пересечения биссектрис, точка Н  — точка пересечения высот.

а)  Докажите, что точки B, C, H и D лежат на одной окружности.

б)  Найдите угол ABC, если $\angle A H D = 51 градусов .$

Решение. а)  Пусть BB₁ и CC₁  — высоты треугольника, тогда

$\angle BHC = \angle C_1 H B_1 = 180 градусов минус \angle A = 120 градусов ,$

$\angle BDC = 180 градусов минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \angle B минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \angle C =$
$= 180 градусов минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 180 градусов минус \angle A правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \angle A плюс 90 градусов = 120 градусов .$ $\angle BDC = 180 градусов минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \angle B минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \angle C =$
$= 180 градусов минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 180 градусов минус \angle A правая круглая скобка =$
$= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \angle A плюс 90 градусов = 120 градусов .$ $\angle BDC =$
$= 180 градусов минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \angle B минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \angle C =$
$= 180 градусов минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 180 градусов минус \angle A правая круглая скобка =$
$= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \angle A плюс 90 градусов = 120 градусов .$

Точки H и D лежат в одной полуплоскости относительно прямой BC и $\angle BHC = \angle BDC,$ следовательно, точки B, H, D, C лежат на одной окружности.

б)  Пусть $\angle ABC = x,$ тогда $\angle ACB = 120 градусов минус x.$ Значит,

$\angle AHB = 180 градусов минус левая круглая скобка 120 градусов минус x правая круглая скобка = x плюс 60 градусов,$

$\angle BHD = \angle AHB минус \angle AHD= x плюс 60 градусов минус 51 градусов= 9 градусов плюс x.$ $\angle BHD = \angle AHB минус \angle AHD=$
$= x плюс 60 градусов минус 51 градусов= 9 градусов плюс x.$

Тогда

$\angle BCD = \angle BHD =9 градусов плюс x.$

Таким образом,

$\angle ACB = 2 левая круглая скобка 9 градусов плюс x правая круглая скобка = 120 градусов минус x.$

Следовательно, $3 x = 120 градусов минус 18 градусов ,$ откуда $x = 34 градусов .$

Ответ: б)  34°.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: б)  34°.

648014

б)  34°.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 442

Классификатор планиметрии: Треугольники

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	648014	б)  34°.