РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 648010 Добавить в вариант

Источники:

А. Ларин. Тренировочный вариант № 442;

А. Ларин. Тренировочный вариант № 445.

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус

Методы алгебры: Формулы приведения

Уравнения. Тригонометрические уравнения, разложение на множители

а)  Решите уравнение $синус левая круглая скобка 2 x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус синус левая круглая скобка 3 x минус Пи правая круглая скобка = синус x.$

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Преобразуем уравнение:

$синус левая круглая скобка 2 x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус синус левая круглая скобка 3 x минус Пи правая круглая скобка = синус x равносильно минус косинус 2x плюс синус 3x = синус x равносильно$
$равносильно косинус 2x = синус 3x минус синус x равносильно косинус 2x = 2 косинус 2x синус x равносильно косинус 2x левая круглая скобка 2 синус x минус 1 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус 2x = 0, 2 синус x минус 1 = 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 2x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, синус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $синус левая круглая скобка 2 x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус синус левая круглая скобка 3 x минус Пи правая круглая скобка = синус x равносильно минус косинус 2x плюс синус 3x = синус x равносильно$
$равносильно косинус 2x = синус 3x минус синус x равносильно косинус 2x = 2 косинус 2x синус x равносильно$
$равносильно косинус 2x левая круглая скобка 2 синус x минус 1 правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений косинус 2x = 0, 2 синус x минус 1 = 0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений 2x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, синус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $синус левая круглая скобка 2 x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус синус левая круглая скобка 3 x минус Пи правая круглая скобка = синус x равносильно$
$равносильно минус косинус 2x плюс синус 3x = синус x равносильно косинус 2x = синус 3x минус синус x равносильно$
$равносильно косинус 2x = 2 косинус 2x синус x равносильно$
$равносильно косинус 2x левая круглая скобка 2 синус x минус 1 правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений косинус 2x = 0, 2 синус x минус 1 = 0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений 2x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, синус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $синус левая круглая скобка 2 x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус синус левая круглая скобка 3 x минус Пи правая круглая скобка = синус x равносильно$
$равносильно минус косинус 2x плюс синус 3x = синус x равносильно$
$равносильно косинус 2x = синус 3x минус синус x равносильно косинус 2x = 2 косинус 2x синус x равносильно$
$равносильно косинус 2x левая круглая скобка 2 синус x минус 1 правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений косинус 2x = 0, 2 синус x минус 1 = 0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений 2x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, синус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$

б)  Отберем корни при помощи единичной окружности. Получаем: $минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

648010

а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Источники:

А. Ларин. Тренировочный вариант № 442;

А. Ларин. Тренировочный вариант № 445.

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус

Методы алгебры: Формулы приведения

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	648010	а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$