РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 646757 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 439

Классификатор алгебры: Уравнения смешанного типа, Логарифмические уравнения, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус

Уравнения. Тригонометрия и показательные выражения

а)  Решите уравнение $левая круглая скобка 8 синус в квадрате x плюс 14 синус x плюс 5 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 3 левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка = 0.$

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка минус 3 Пи ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Заметим, что уравнение определено только при $косинус x больше 0.$ При этом условии оно равносильно совокупности:

$совокупность выражений 8 синус в квадрате x плюс 14 синус x плюс 5=0, логарифм по основанию 3 левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка = 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений синус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x = минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби , косинус x = 1 конец совокупности .\underset косинус x больше 0 равносильно совокупность выражений синус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , косинус x = 1 конец совокупности .\underset косинус x больше 0 равносильно совокупность выражений x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x = 2 Пи n, конец совокупности .k, n принадлежит Z .$ $совокупность выражений 8 синус в квадрате x плюс 14 синус x плюс 5=0, логарифм по основанию 3 левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка = 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений синус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x = минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби , косинус x = 1 конец совокупности .\underset косинус x больше 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус x = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , косинус x = 1 конец совокупности .\underset косинус x больше 0 равносильно совокупность выражений x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x = 2 Пи n, конец совокупности .k, n принадлежит Z .$

б)  Отберем корни при помощи двойных неравенств:

$минус 3 Пи меньше или равно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k меньше или равно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби равносильно минус дробь: числитель: 17, знаменатель: 12 конец дроби меньше или равно k меньше или равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби равносильно k= минус 1.$

Найденному значению k соответствует значение $минус дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$ Для второй серии аналогично:

$минус 3 Пи меньше или равно 2 Пи n меньше или равно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби равносильно минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно n меньше или равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби равносильно n= минус 1.$

Найденному значению n соответствует значение переменной $минус 2 Пи .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус 2 Пи .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

646757

а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус 2 Пи .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 439

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	646757	а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус 2 Пи .$