ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 646486 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

$левая круглая скобка x в квадрате плюс x плюс 2 a в квадрате плюс 1 правая круглая скобка в квадрате = 8 a в квадрате левая круглая скобка x в квадрате плюс x плюс 1 правая круглая скобка$

имеет ровно один корень.

Спрятать решение

Решение.

Пусть $x в квадрате плюс x плюс 1=t,$ $2a в квадрате =b,$ тогда

$левая круглая скобка t плюс b правая круглая скобка в квадрате =4bt равносильно t в квадрате плюс 2bt плюс b в квадрате =4bt равносильно t в квадрате минус 2bt плюс b в квадрате =0 равносильно левая круглая скобка t минус b правая круглая скобка в квадрате =0 равносильно t=b.$ $левая круглая скобка t плюс b правая круглая скобка в квадрате =4bt равносильно t в квадрате плюс 2bt плюс b в квадрате =4bt равносильно$
$равносильно t в квадрате минус 2bt плюс b в квадрате =0 равносильно левая круглая скобка t минус b правая круглая скобка в квадрате =0 равносильно t=b.$

Вернёмся к исходным переменным:

$x в квадрате плюс x плюс 1=2a в квадрате равносильно x в квадрате плюс x плюс 1 минус 2a в квадрате =0.$

Полученное уравнение является квадратным при любом значении параметра a, значит, оно имеет ровно один корень тогда и только тогда, когда его дискриминант

$D=1 минус 4 умножить на 1 умножить на левая круглая скобка 1 минус 2a в квадрате правая круглая скобка =8a в квадрате минус 3$

равен нулю. Получаем:

$8a в квадрате минус 3=0 равносильно a в квадрате = дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби равносильно a= \pm корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби конец аргумента равносильно a= \pm дробь: числитель: корень из 6 , знаменатель: 4 конец дроби .$

Ответ: $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: корень из 6 , знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: корень из 6 , знаменатель: 4 конец дроби правая фигурная скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	4
С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет	3
С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений	2
В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 438

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Методы алгебры: Выделение полного квадрата

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь