PDF-версии: 
Найдите наибольшее значение параметра a, при котором уравнение
имеет хотя бы один корень, и укажите корни этого уравнения для такого значения a.
Решение. Уравнение определено при 
Рассмотрим векторы
и
— угол между ними. Найдём длины этих векторов:
Тогда исходное уравнение имеет вид
Таким образом, 
Значение 
может достигаться тогда и только тогда, когда 
то есть в случае, когда векторы 
и 
сонаправлены. Если соответствующие значения х существуют, то —
Выше было получено, что 
Следовательно, векторы и сонаправлены, если координаты вектора в 2 раза больше координат вектора 
то есть при одновременном выполнении условий:
Решим уравнение 
:
Подставляя найденные корни в уравнение 
убеждаемся, что они являются его решениями. Таким образом, при наибольшем возможном значении параметра а исходное уравнение имеет корни 
и 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |