РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 14 № 644839 Добавить в вариант

Источник: Демонстрационная версия ЕГЭ—2024 по математике. Профильный уровень

Стереометрическая задача. Сечения пирамид

В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а $AB = BC = AC = 5 корень из 2 .$

а)  Докажите, что BD  =  CD.

б)  На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём DM : MA  =  DN : NC  =  2 : 3. Найдите площадь сечения MNB.

Решение.

а)  Прямоугольные треугольники ABD и ACD равны, поскольку катет AD общий, а AB  =  AC. Значит, BD  =  CD.

б)  Найдём боковые рёбра. Треугольник BCD равнобедренный и прямоугольный, поэтому $BD=CD= дробь: числитель: BC, знаменатель: корень из 2 конец дроби =5.$ Аналогично AD  =  5. Найдём стороны треугольника MNB:

$MB=NB= корень из: начало аргумента: ND в квадрате плюс DB в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 29 конец аргумента ,$

$MN= корень из: начало аргумента: MD в квадрате плюс DN в квадрате конец аргумента =2 корень из 2 .$

Площадь равнобедренного треугольника MNB равна:

$S = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на MN умножить на корень из: начало аргумента: MB в квадрате минус левая круглая скобка дробь: числитель: MN, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате конец аргумента =3 корень из 6 .$

Ответ: б)   $3 корень из 6 .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Источник: Демонстрационная версия ЕГЭ—2024 по математике. Профильный уровень

Ключ