PDF-версии: 
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет больше двух решений.
Решение. Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы. Рассмотрим четыре случая.
1. Если 
и 
то получаем уравнение:
Назовем l прямую, задаваемую полученным уравнением.
2. Если и 
то получаем уравнение:
Полученное уравнение задаёт параболу 
3. Если 
и то получаем уравнение:
Полученное уравнение задаёт параболу 
4. Если и то получаем уравнение:
Полученное уравнение задает две прямые: 
и 
Точки A(−2; 2), B(2; −2) и C(−1; −1) являются точками пересечения этих парабол с этих парабол и прямых, они лежат на прямых 
или 
и 
соответственно, поэтому искомое множество состоит из прямой l, лучей l1 и l2, лежащих на прямой 
с началами в точках A и B соответственно, дуги ω1 параболы 
с концами в точках A и C и дуги ω2 параболы 
с концами в точках B и C (см. рис.).
Второе уравнение системы задаёт прямую, параллельную прямой AB или совпадающую с ней; назовем ее m. Заметим, что при 
прямая m касается парабол и в точках, не лежащих на дугах ω1 и ω2, поэтому прямая m имеет с каждой из дуг ω1 и ω2 не больше одной общей точки.
При 
прямая m содержит лучи l1 и l2 то есть исходная система имеет бесконечное число решений.
При 
прямая m пересекает каждую из дуг ω1 и ω2 в точке C, пересекает прямую l в точке C и не имеет общих точек с лучами l1 и l2, а потому исходная система имеет единственное решение.
При 
прямая m не имеет общих точек с лучами l1 и l2, пересекает прямую l в точке, отличной от точки C, пересекает каждую из дуг ω1 и ω2 в одной точке, отличной от точки C, то есть исходная система имеет ровно три решения.
При 
или 
прямая m пересекает прямую l в одной точке и не имеет общих точек с дугами ω1 и ω2 и лучами l1 и l2, то есть исходная система имеет единственное решение. Значит, исходная система имеет больше двух решений при 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только исключением точки a = 0 | 3 |
| При всех значениях a верно найдено количество решений системы в одном из четырёх случаев, возникающих при раскрытии модулей ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения | 2 |
| Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения дуг парабол и прямых (аналитически или графически) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |