Ре­ше­ние. a)  Пусть окруж­ность, впи­сан­ная в квад­рат, ка­са­ет­ся его сто­ро­ны AB в точке M₁, сто­ро­ны AD  — в точке N₁, а пря­мой MN  — в точке T. По свой­ству ка­са­тель­ных и Тогда:

б)  По­ло­жим и Тогда:

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра то есть

От­сю­да на­хо­дим, что Тогда и

Пусть точка O  — центр окруж­но­сти, а пря­мая PO пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ны AD и BC в точ­ках L и H со­от­вет­ствен­но. Из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков DOL и BOH сле­ду­ет, что по­это­му

Окруж­ность впи­са­на в угол MPC, зна­чит, PL  — бис­сек­три­са тре­уголь­ни­ка DPN, ко­то­рый по­до­бен тре­уголь­ни­ку AMN. Ис­поль­зуя свой­ство бис­сек­три­сы и по­до­бие, на­хо­дим:

от­ку­да Учи­ты­вая, что

на­хо­дим, что и

Ответ: б)  1 : 4.