РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 643677 Добавить в вариант

Источники:

ЕГЭ по математике 01.07.2023. Основная волна, резервный день. Санкт-Петербург. Вариант 601 (часть 2);

Задания 13 ЕГЭ–2023.

Классификатор алгебры: Логарифмические уравнения

Методы алгебры: Разложение на множители

Уравнения. Логарифмические уравнения

a)  Решите уравнение $логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x в кубе плюс 6 x в квадрате минус 3 x минус 19 правая круглая скобка = логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка .$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка 100; логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка 0,3 правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Преобразуем уравнение

$логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x в кубе плюс 6 x в квадрате минус 3 x минус 19 правая круглая скобка = логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка \overset левая круглая скобка * правая круглая скобка \mathop равносильно система выражений x в кубе плюс 6 x в квадрате минус 3 x минус 19 = x плюс 5, x плюс 5 больше 0. конец системы .$

Решим отдельно уравнение полученной системы:

$x в кубе плюс 6 x в квадрате минус 3 x минус 19 = x плюс 5 равносильно x в кубе плюс 6 x в квадрате минус 4 x минус 24=0 равносильно$
$равносильно x в квадрате левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка минус 4 левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка =0 равносильно левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка = 0.$ $x в кубе плюс 6 x в квадрате минус 3 x минус 19 = x плюс 5 равносильно$
$равносильно x в кубе плюс 6 x в квадрате минус 4 x минус 24=0 равносильно$
$равносильно x в квадрате левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка минус 4 левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка = 0.$

Значит, возвращаясь к системе, получаем

$система выражений левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка = 0, x плюс 5 больше 0 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений x= минус 6, x= минус 2, x=2, конец системы . x больше минус 5 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= минус 2, x=2. конец совокупности .$

б)  Заметим, что

$логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка 100 = минус логарифм по основанию 2 100 меньше минус 2 меньше логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка 0,3 = логарифм по основанию целая часть: 2, дробная часть: числитель: 10, знаменатель: 3 меньше 2.$

Значит, отрезку $левая квадратная скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка 100; логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка 0,3 правая квадратная скобка$ принадлежит корень −2.

Ответ: а)  {−2; 2}; б)  –2.

Примечание: переход (⁎) равносилен по правилу 1.

Справедлива равносильность

$логарифм по основанию a x= логарифм по основанию a y равносильно система выражений x=y, y больше 0. конец системы .$

Это свойство, основанное на том, что число, равное положительному, положительно, позволяет вместо двух неравенств $x больше 0,$ $y больше 0$ проверять одно любое. Оставляют более простое условие.

Правило

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Ответ: а)  {−2; 2}; б)  –2.

643677

а)  {−2; 2}; б)  –2.

Источники:

ЕГЭ по математике 01.07.2023. Основная волна, резервный день. Санкт-Петербург. Вариант 601 (часть 2);

Задания 13 ЕГЭ–2023.

Классификатор алгебры: Логарифмические уравнения

Методы алгебры: Разложение на множители

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	643677	а)  {−2; 2}; б)  –2.