В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD = 5 и BC = 3. 
а
а) Докажите, что плоскость MKC делит отрезок BB1 пополам.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью МKC, если 
и 
Решение.
a) Боковая грань BCC1B1 призмы параллельна грани ADD1A1, поскольку составляющие их рёбра соответственно параллельны. Проведём через вершину C прямую, параллельную KM. Пусть эта прямая пересекает ребро BB1 в точке N, а продолжение ребра B1C1 в точке E, а прямая EM пересекает ребро A1B1 в точке L (рис. 1).
Прямоугольные треугольники CBN и MD1K равны, поскольку равны их катеты BC и MD1, а также острые углы, ввиду параллельности соответствующих сторон. Следовательно,
а значит, точка N — середина ребра BB1.
б) Пусть высота призмы равна 2x. Тогда 
В равнобедренной трапеции с основаниями 5 и 3 и углом 60° боковые стороны равны 2, то есть 
Прямоугольные треугольники EB1N и CBN равны по катету и углу при вершине N. Значит,
Из прямоугольных треугольников CDK и NCK имеем:
Для треугольника BCD имеем:
Поскольку 
получаем: 
откуда 
Следовательно,
Площадь прямоугольной трапеции MKCE равна
Треугольники A1ML и B1EL подобны, значит,
а площади треугольников ELN и EMN относятся как 
(рис. 2). Тогда площадь треугольника ELN равна
Площадь сечения MKCNL равна разности площадей трапеции MKCE и треугольника ELN:
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |