Ре­ше­ние. а)  Пусть окруж­ность, впи­сан­ная в квад­рат, ка­са­ет­ся его сто­ро­ны AB в точке M₁, сто­ро­ны  AD  — в точке  N₁, а пря­мой  MN  — в точке  T. По свой­ству ка­са­тель­ных и Тогда

б)  По­ло­жим Тогда

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра то есть

От­сю­да на­хо­дим, что Тогда и

Пусть точка O  — центр окруж­но­сти, а пря­мая PO пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ны AD и BC в точ­ках L и H со­от­вет­ствен­но. Из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков DOL и BOH сле­ду­ет, что DL  =  BH, по­это­му Окруж­ность впи­са­на в угол MPC, зна­чит, PL  — бис­сек­три­са тре­уголь­ни­ка DPN, ко­то­рый по­до­бен тре­уголь­ни­ку AMN. Ис­поль­зуя свой­ство бис­сек­три­сы и по­до­бия, на­хо­дим:

от­ку­да Учи­ты­вая, что

на­хо­дим, что Тогда

Ответ: б) 1 : 3.

При­ве­дем ре­ше­ние пунк­та б) пред­ло­жен­ное нашим чи­та­те­лем Дмит­ри­ем.

Часть б) можно ре­шить проще, до­ка­зав, что От­ту­да сразу сле­ду­ет, что при любом по­ло­же­нии точки M. Дей­стви­тель­но, а   — угол между ка­са­тель­ны­ми и со­от­вет­ству­ю­щи­ми им ра­ди­у­са­ми. Далее, PH  — бис­сек­три­са   — бис­сек­три­са Сле­до­ва­тель­но,

Тре­уголь­ни­ки OHB и OMA равны по вто­ро­му при­зна­ку.

При­ве­дем ре­ше­ние пунк­та б) Мак­си­ма Вол­ко­ва.

Пусть O  — центр окруж­но­сти, T  — точка ка­са­ния окруж­но­сти и пря­мой MN. По­ло­жим AB  =  12a, тогда ра­ди­ус окруж­но­сти R  =  6a, MT  =  MM₁  =  3a. По­ло­жим тогда

За­ме­тим, что PO и MO  — бис­сек­три­сы внут­рен­них од­но­сто­рон­них углов, об­ра­зо­ван­ных при пе­ре­се­че­нии па­рал­лель­ных пря­мых AB и PC се­ку­щей MN. Сле­до­ва­тель­но, тогда

Пусть F  — точка ка­са­ния окруж­но­сти со сто­ро­ной CD, тогда в тре­уголь­ни­ке POF на­хо­дим: от­ку­да Далее,

а по­то­му из тре­уголь­ни­ка PHC на­хо­дим: Сле­до­ва­тель­но,

Тогда

Ответ: б) 1 : 3.