PDF-версии: 
Грани ABD и ACD тетраэдра ABCD являются правильными треугольниками со стороной 10 и перпендикулярны друг другу. На рёбрах AB, AD и CD отмечены точки K, L и M соответственно, причём BK = 2, AL = 4, MD = 3.
а) Докажите, что плоскость KLM перпендикулярна ребру CD.
б) Найдите длину отрезка пересечения грани ABC и плоскости KLM.
Решение. а) Заметим, что AK = 8 и AL = 4. По теореме косинусов
тогда 
откуда 
по теореме, обратной теореме Пифагора. Тогда, учитывая, что плоскости ACD и ABD перпендикулярны, получаем, что проекция прямой CD на плоскость ABD — это прямая AD, а значит, по теореме о трех перпендикулярах отрезок KL перпендикулярен ребру CD.
По теореме косинусов для треугольника LMD находим, что:
значит,
откуда 
Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости плоскость KLM перпендикулярна ребру CD, поскольку отрезок KL перпендикулярен ребру CD и отрезок LM перпендикулярен ребру CD.
б) Пусть прямые LK и BD пересекаются в точке S. Тогда по теореме Менелая получаем, что
то есть 
а потому 
Пусть теперь отрезок MS пересекает ребро BC в точке P. По теореме Менелая для треугольника BCD находим:
следовательно, 
откуда 
Пусть середина ребра AD — точка H. Тогда
Получаем:
Найдем косинус угла ABC:
По теореме косинусов для треугольника BPK получаем:
откуда 
Заметим, что по построению точка P лежит на плоскости KLM.
Ответ: б) 
Приведем решение пункта б) Анны Букиной.
Пусть H — середина ребра AD, тогда 
Прямая CH перпендикулярна AD и прямая BH перпендикулярна AD, следовательно, угол BCH — это угол между плоскостями ABD и ACD, угол BHC равен 90 градусов. Из прямоугольного треугольника BHC получим 
Пусть прямые LK и BD пересекаются в точке S. Пусть теперь отрезок MS пересекает ребро BC в точке P. По доказанному в пункте а) прямая CD перпендикулярна плоскости KLM, следовательно, CD перпендикулярна MP. В равнобедренном треугольнике BDC 
В прямоугольном треугольнике PMC 
тогда
Следовательно, 
Заметим, что треугольники ABC и DBC равны по трем сторонам, при этом они равнобедренные, следовательно, 
Из треугольника BPK по теореме косинусов получим
откуда 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |