РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 643200 Добавить в вариант

Источники:

ЕГЭ по математике 01.07.2023. Основная волна, резервный день. Санкт-Петербург. Вариант 604 (часть 2);

Задания 13 ЕГЭ–2023.

Классификатор алгебры: Логарифмические уравнения

Методы алгебры: Разложение на множители

Уравнения. Логарифмические уравнения

a)  Решите уравнение $логарифм по основанию 3 x умножить на логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 4x в квадрате минус 1 правая круглая скобка = логарифм по основанию 3 дробь: числитель: x левая круглая скобка 4x в квадрате минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 3 конец дроби .$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка логарифм по основанию 5 2; логарифм по основанию 5 27 правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Уравнение имеет вид

$логарифм по основанию 3 a умножить на логарифм по основанию 3 b = логарифм по основанию 3 дробь: числитель: ab, знаменатель: 3 конец дроби .$

Преобразуем его:

$логарифм по основанию 3 x умножить на логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 4x в квадрате минус 1 правая круглая скобка = логарифм по основанию 3 дробь: числитель: x левая круглая скобка 4x в квадрате минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 3 конец дроби равносильно логарифм по основанию 3 x умножить на логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 4x в квадрате минус 1 правая круглая скобка = логарифм по основанию 3 x плюс логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 4x в квадрате минус 1 правая круглая скобка минус 1 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 3 x умножить на левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 4x в квадрате минус 1 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 4x в квадрате минус 1 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка =0 равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 4x в квадрате минус 1 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x минус 1 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 4x в квадрате минус 1 правая круглая скобка =1, логарифм по основанию 3 x = 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений 4x в квадрате минус 1=3,x больше 0, конец системы . система выражений x=3,4x в квадрате минус 1 больше 0 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений x в квадрате =1,x больше 0, конец системы . x=3 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=1,x=3. конец совокупности .$ $логарифм по основанию 3 x умножить на логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 4x в квадрате минус 1 правая круглая скобка = логарифм по основанию 3 дробь: числитель: x левая круглая скобка 4x в квадрате минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 3 конец дроби равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 3 x умножить на логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 4x в квадрате минус 1 правая круглая скобка = логарифм по основанию 3 x плюс логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 4x в квадрате минус 1 правая круглая скобка минус 1 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 3 x умножить на левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 4x в квадрате минус 1 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 4x в квадрате минус 1 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 4x в квадрате минус 1 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x минус 1 правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 4x в квадрате минус 1 правая круглая скобка =1, логарифм по основанию 3 x = 1 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений система выражений 4x в квадрате минус 1=3,x больше 0, конец системы . система выражений x=3,4x в квадрате минус 1 больше 0 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений x в квадрате =1,x больше 0, конец системы . x=3 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=1,x=3. конец совокупности .$ $логарифм по основанию 3 x умножить на логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 4x в квадрате минус 1 правая круглая скобка = логарифм по основанию 3 дробь: числитель: x левая круглая скобка 4x в квадрате минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 3 конец дроби равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 3 x умножить на логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 4x в квадрате минус 1 правая круглая скобка = логарифм по основанию 3 x плюс логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 4x в квадрате минус 1 правая круглая скобка минус 1 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 3 x умножить на левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 4x в квадрате минус 1 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 4x в квадрате минус 1 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 4x в квадрате минус 1 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 3 x минус 1 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 4x в квадрате минус 1 правая круглая скобка =1, логарифм по основанию 3 x = 1 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений система выражений 4x в квадрате минус 1=3,x больше 0, конец системы . система выражений x=3,4x в квадрате минус 1 больше 0 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений x в квадрате =1,x больше 0, конец системы . x=3 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=1,x=3. конец совокупности .$

б)  Отберём корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка логарифм по основанию 5 2; логарифм по основанию 5 27 правая квадратная скобка .$ Заметим, что $2 меньше 5 меньше 27 меньше 125,$ тогда

$логарифм по основанию 5 2 меньше логарифм по основанию 5 5 меньше логарифм по основанию 5 27 меньше логарифм по основанию 5 125.$

Следовательно, $логарифм по основанию 5 2 меньше 1 меньше логарифм по основанию 5 27 меньше 3.$ Значит, отрезку $левая квадратная скобка логарифм по основанию 5 2; логарифм по основанию 5 27 правая квадратная скобка$ принадлежит только корень $x=1.$

Ответ: a) $левая фигурная скобка 1; 3 правая фигурная скобка ;$ б) $1.$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Ответ: a) $левая фигурная скобка 1; 3 правая фигурная скобка ;$ б) $1.$

643200

a) $левая фигурная скобка 1; 3 правая фигурная скобка ;$ б) $1.$

Источники:

ЕГЭ по математике 01.07.2023. Основная волна, резервный день. Санкт-Петербург. Вариант 604 (часть 2);

Задания 13 ЕГЭ–2023.

Классификатор алгебры: Логарифмические уравнения

Методы алгебры: Разложение на множители

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	643200	a) $левая фигурная скобка 1; 3 правая фигурная скобка ;$ б) $1.$