Тип 19 № 643168 
Числа и их свойства. Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки
i
На овощебазу завезли капусту. Каждый из кочанов капусты весит 1, 2 или 3 килограмма.Фермер Иван поехал на овощебазу за капустой. Его сосед Фёдор попросил купить для него столько же капусты (по массе). На овощебазе Ивану составила набор кочанов капусты, суммарная масса которых составила N кг. Нужно разделить эти кочаны поровну (по массе) между Иваном и Федором так, чтобы не пришлось резать кочаны.
а) Существует ли набор кочанов суммарной массой N = 20, который невозможно разделить поровну?
б) Существует ли набор кочанов суммарной массой N = 24, который невозможно разделить поровну?
в) Найдите все значения N, для которых любой набор кочанов суммарной массы N можно разделить поровну.
Решение. а) Да. Заметим, что 
При любом делении 7 кочанов на группы в одной из групп будет минимум 4 кочана, а их общая масса будет не менее
б) Нет. Выделим сколько сможем групп весом 6 кг: 2 кочана по 3 кг, 3 кочана по 2 кг, 6 кочанов по 1 кг. Если очередную группу выделить нельзя, то осталось не более одного кочана в 3 кг, не более двух — по 2 кг и не более 5 кочанов по 1 кг. Итого не более 
Значит, минимум 
капусты выделено группами по 6 кг. Возьмем две такие группы (это ровно половина от общей массы), а другому фермеру отдадим остальную капусту.
в) Если число N нечетно, то половина массы имеет нецелую массу, и разделить нельзя вообще. Для четных N рассмотрим три случая.
Если N четно, но не кратно 4, то есть 
и T нечетно, то набор из T кочанов по 2 кг разделить нельзя: важным будет только количество кочанов у каждого, а оно нечетно. Потому у фермеров кочанов будет не поровну.
Если N не кратно 3, возьмем в набор много кочанов по 3 кг и один кочан в 1 или 2 кг. Одному из фермеров при дележке достанется этот кочан, у него общая масса капусты не будет кратна трем, а у второго фермера будут только кочаны по 3 кг, поэтому у него сумма будет кратна 3. Значит, у фермеров не поровну кочанов.
Если N кратно 4 и 3, то оно кратно 12. Пусть 
Будем, как и в пункте б), выделять группы весом по 6 кг. Их можно выделить 
штуки аналогично пункту б), после чего отдать первому фермеру T таких групп — это будет ровно половина всей капусты. Это можно сделать, если 
то есть, если 
Осталось разобрать случай 
то есть 
Из рассуждения пункта б) очевидно, что за исключением варианта
в любом другом выделить группу массой 6 кг можно. Отдадим ее одному фермеру, а остальную капусту второму. В этом же варианте разделим кочаны так:
Ответ: а) да; б) нет; в) 
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в). | 4 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 3 |
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Ответ: а) да; б) нет;
в) 643168
а) да; б) нет;
в) 
PDF-версии: