PDF-версии: 
Биссектриса АМ острого угла А равнобедренной трапеции ABCD делит боковую сторону CD пополам. Отрезок DN перпендикулярен отрезку AM и делит сторону АВ в отношении 
а) Докажите, что прямые ВМ и CN перпендикулярны.
б) Найдите длину отрезка MN, если площадь трапеции равна 
Решение. а) Пусть прямые AM и DN пересекаются в точке H, прямые AM и BC — в точке E, прямые BM и AD — в точке F. В треугольнике AND отрезок AH является биссектрисой и высотой, следовательно, AN = AD. Тогда треугольники ANM и ADM равны, следовательно, NM = MD = MC. Тогда, по признаку прямоугольного треугольника угол CND равен 90°. Прямые CN и AE параллельны, BC : CE = BN : NA = 1 : 5, следовательно, CE = 5BC. Треугольники CME и DMA равны, отсюда CE = AD, аналогично BC = DF. Значит, AN : NB = CE : BC = AD : DF, прямые DN и BF параллельны, тогда прямые BM и CN перпендикулярны.
б) Пусть AN = 5x, NB = x, тогда AD = 5x, BC = x. Пусть h — высота трапеции. Имеем:
По условию площадь трапеции равна 
тогда:
Значит, 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |