PDF-версии: 
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 точка M является серединой ребра BB1, а точка N — середина ребра A1C1. Плоскость α, параллельная прямым AM и B1N, проходит через середину отрезка B1M.
a) Докажите, что плоскость α проходит через середину отрезка B1C1.
б) Найдите площадь сечения призмы ABCA1B1C1плоскостью α, если все ребра этой призмы равны 4.
Решение. а) Пусть точка D — середина отрезка B1M, а точка P — середина отрезка B1C1. Через точку D проведём прямую параллельную AM, точку пересечения этой прямой и ребра AA1 обозначим E. Четырехугольник DMAE — параллелограмм, по определению. Тогда
и 
Точку пересечения прямых DP и CC1 обозначим K, точку пересечения прямых KE и A1C1 обозначим L. Углы DPB1 и KPC1 равны как вертикальные, тогда прямоугольные треугольники DPB1 и KPC1 равны по катету и прилежащему острому углу, откуда 
Углы KLC1 и ELA1 равны как вертикальные, тогда прямоугольные треугольники KLC1 и ELA1 подобны и
Значит, точка L — середина отрезка NC1. Тогда PL — средняя линия треугольника NB1C1, следовательно, PL параллельна NB1, а значит прямая NB1 параллельна плоскости DEP. Прямая AM параллельна DE, следовательно, прямая AM параллельна плоскости DEP. Таким образом, плоскость α, которая параллельна прямым AM и B1N и проходит через середину отрезка B1M — это плоскость DEP, и, значит, она проходит через точку P — середину отрезка B1C1.
б) Сечением призмы плоскостью α является четырехугольник LEDP. Медиана B1N перпендикулярна A1C1, тогда и LP перпендикулярна A1C1 и по теореме о трех перпендикулярах наклонная KL перпендикулярна LP, значит, треугольник KLP — прямоугольный
Вычислим длины некоторых отрезков:
Треугольник EDK равнобедренный, DF — его высота, проведённая к основанию. DF параллельна B1N, тогда DF параллельна LP, значит, LP — средняя линия треугольника FDK. Тогда
следовательно,
Ответ: б) 
Приведем решение Александра Турбанова (Липецк).
а) Введем прямоугольную систему координат с началом в точке A так, как показано на рисунке. Пусть AA1 = a, AB = b, точка Q — середина B1C, R — середина B1M. Во введенной системе координат имеем:
Составим уравнение плоскости α в виде 
Для этого подставим в уравнение плоскости координаты точки R и, поскольку нормаль к плоскости α имеет координаты 
запишем скалярные произведения нормали с векторами 
и 
(нормаль n перпендикулярна векторам и ). Имеем:
Из третьего уравнения системы находим A = 0. Вычтем из первого уравнения системы второе и выразим C:
Находим B:
Уравнение плоскости α:
Подставим в это уравнение координаты точки Q:
б) Четырехугольник RQLT — искомое сечение. По теореме о площади проекции многоугольника: 
где φ — угол между плоскостями, где находятся многоугольник и его проекция. Спроектируем RQLT на A1B1C1. Четырехугольник A1B1QL — проекция RQLT на A1B1C1.
B1N — медиана треугольника A1B1N, поэтому 
Отрезок QL — средняя линия треугольника B1NC1, значит, треугольники B1NC1 и QLC1 подобны по
Укажем координаты следующих точек:
Подставим координаты точек плоскости A1B1C1 в уравнение 
получим:
Находим уравнение плоскости A1B1C1:
Аналогично составляем уравнение плоскости TRQ:
Из первого уравнения системы получаем 
Преобразуем второе уравнение:
Преобразуем третье уравнение системы:
значит, 
Находим уравнение плоскости TRQ:
Угол между плоскостями равен углу между нормалями этих плоскостей. Имеем:
Таким образом, площадь искомого сечения равна
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |