PDF-версии: 
Основанием прямой призмы ABCDA1B1C1D1 является параллелограмм. На рёбрах A1B1, B1C1 и BC отмечены точки M, K и N соответственно, причем 
а AMKN — равнобедренная трапеция с основаниями
a) Докажите, что N — середина BC.
б) Найдите площадь трапеции AMKN, если объем призмы ABCDA1B1C1D1 равен 12, а ее высота равна 2.
Решение. а) Заметим, что стороны треугольников MB1K и ABN соответственно параллельны, следовательно, эти треугольники подобны с коэффициентом
Тогда 
откуда находим:
б) Так как высота призмы ABCDA1B1C1D1 равна 2, ее объем равен удвоенной площади параллелограмма ABCD, тогда площадь параллелограмма ABCD равна 6. Площадь треугольника ABN равна 
и равна 
площади подобных треугольников MB1K и ABN относятся как квадрат коэффициента подобия, тогда
Пусть BH и B1H1 — высоты треугольников ABN и MB1K, тогда
отсюда 
По теореме Пифагора
Заметим, что по теореме о трех перпендикулярах H1H перпендикулярен AN, следовательно, H1H — высота трапеции AMKN. Найдем площадь трапеции AMKN:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |