PDF-версии: 
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два различных решения.
Решение. Преобразуем первое уравнение системы:
Решая уравнение 
заключаем, что парабола 
и прямая 
пересекаются в точках 
и 
Поэтому в системе координат xOy графиком полученной системы будет объединение прямой и участка параболы 
лежащих не выше прямой (выделено оранжевым)
Графиком второго уравнения исходной системы является семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом −1.
Найдём, при каких значениях a уравнение 
имеет один корень:
Дискриминант обращается в нуль при 
Значит, при этом значении параметра прямая 
имеет только одну общую точку с параболой — точку C. Прямая 
выделена на рисунке красным.
Прямая проходит через точку A при
Прямая 
выделена на рисунке зеленым
Прямая проходит через точку B при
Прямая 
выделена на рисунке синим.
Прямые и имеют разные угловые коэффициенты, значит. пересекаются при любом значении a.
Анализируя графики, получаем что исходная система:
— при 
имеет одно решение;
— при 
— два решения;
— при 
— три решения ;
— при 
— два решения;
— при 
— одно решение.
Таким образом, исходная система имеет ровно два решения при 
или 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |