РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 18 № 642783 Добавить в вариант

Источники:

Задания 17 ЕГЭ–2023;

ЕГЭ по математике 01.06.2023. Основная волна. Санкт-Петербург. Вариант 309 (часть 2);

ЕГЭ по математике 01.06.2023. Основная волна. Санкт-Петербург. Вариант 302 (часть 2).

Классификатор алгебры: Системы с параметром

Методы алгебры: Перебор случаев

Задача с параметром. Системы с параметром

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

$система выражений левая круглая скобка x в квадрате минус 7x минус y плюс 4 правая круглая скобка умножить на корень из: начало аргумента: x минус y плюс 4 конец аргумента =0 ,y= минус x плюс a конец системы .$

имеет ровно два различных решения.

Решение. Преобразуем первое уравнение системы:

$левая круглая скобка x в квадрате минус 7x минус y плюс 4 правая круглая скобка умножить на корень из: начало аргумента: x минус y плюс 4 конец аргумента =0 равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений x в квадрате минус 7x минус y плюс 4=0,x минус y плюс 4=0, конец системы . x минус y плюс 4 больше или равно 0 конец совокупности . равносильно система выражений совокупность выражений y=x в квадрате минус 7x плюс 4,y=x плюс 4, конец системы . y меньше или равно x плюс 4. конец совокупности .$ $левая круглая скобка x в квадрате минус 7x минус y плюс 4 правая круглая скобка умножить на корень из: начало аргумента: x минус y плюс 4 конец аргумента =0 равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений x в квадрате минус 7x минус y плюс 4=0,x минус y плюс 4=0, конец системы . x минус y плюс 4 больше или равно 0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений y=x в квадрате минус 7x плюс 4,y=x плюс 4, конец системы . y меньше или равно x плюс 4. конец совокупности .$

Решая уравнение $x в квадрате минус 7x плюс 4 = x плюс 4,$ заключаем, что парабола $y=x в квадрате минус 7x плюс 4$ и прямая $y=x плюс 4$ пересекаются в точках $A левая круглая скобка 0; 4 правая круглая скобка$ и $B левая круглая скобка 8; 12 правая круглая скобка .$ Поэтому в системе координат xOy графиком полученной системы будет объединение прямой $y=x плюс 4$ и участка параболы $y=x в квадрате минус 7x плюс 4,$ лежащих не выше прямой $y=x плюс 4$ (выделено оранжевым)

Графиком второго уравнения исходной системы является семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом −1.

Найдём, при каких значениях a уравнение $x в квадрате минус 7x плюс 4 = минус x плюс a,$ имеет один корень:

$x в квадрате минус 7x плюс 4 = минус x плюс a равносильно x в квадрате минус 6x плюс 4 минус a=0,$ $x в квадрате минус 7x плюс 4 = минус x плюс a равносильно$
$равносильно x в квадрате минус 6x плюс 4 минус a=0,$

$дробь: числитель: D, знаменатель: 4 конец дроби =3 в квадрате минус левая круглая скобка 4 минус a правая круглая скобка =5 плюс a.$

Дискриминант обращается в нуль при $a= минус 5.$ Значит, при этом значении параметра прямая $y= минус x плюс a$ имеет только одну общую точку с параболой $y=x в квадрате минус 7x плюс 4$   — точку C. Прямая $y= минус x минус 5$ выделена на рисунке красным.

Прямая $y= минус x плюс a$ проходит через точку A при

$4= минус 1 умножить на 0 плюс a равносильно a=4.$

Прямая $y= минус x плюс 4$ выделена на рисунке зеленым

Прямая $y= минус x плюс a$ проходит через точку B при

$12= минус 1 умножить на 8 плюс a равносильно a=20.$

Прямая $y= минус x плюс 20$ выделена на рисунке синим.

Прямые $y= минус x плюс a$ и $y=x плюс 4$ имеют разные угловые коэффициенты, значит. пересекаются при любом значении a.

Анализируя графики, получаем что исходная система:

  — при $a меньше минус 5$ имеет одно решение;

  — при $a = минус 5$   — два решения;

  — при $минус 5 меньше a меньше 4$   — три решения ;

  — при $4 меньше или равно a = 20$   — два решения;

  — при $a больше или равно 20$   — одно решение.

Таким образом, исходная система имеет ровно два решения при $a= минус 5$ или $4 меньше или равно a меньше 20.$

Ответ: $левая фигурная скобка минус 5 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка 4; 20 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	4
С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет	3
С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений	2
В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

642783

$левая фигурная скобка минус 5 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка 4; 20 правая круглая скобка .$